Matematik sınavında olasılık teorisi. Bir olayın olasılığı. Klasik tanım

Bir madeni para atıldığında tura düşeceğini söyleyebilirsiniz veya olasılık bu 1/2. Elbette bu, bir paranın 10 kez atılması durumunda mutlaka 5 kez tura geleceği anlamına gelmez. Eğer para "makul" ise ve birçok kez atılırsa, yarıda tura çok yakına düşecektir. Dolayısıyla iki tür olasılık vardır: deneysel Ve teorik .

Deneysel ve teorik olasılık

Bir parayı çok sayıda (örneğin 1000) kez atarsak ve kaç kez tura geldiğini sayarsak, tura gelme olasılığını belirleyebiliriz. Eğer tura 503 kez atılırsa yere düşme olasılığını hesaplayabiliriz:
503/1000 veya 0,503.

Bu deneysel olasılığın belirlenmesi. Olasılığın bu tanımı verilerin gözlemlenmesinden ve incelenmesinden gelir ve oldukça yaygın ve çok faydalıdır. Örneğin deneysel olarak belirlenen bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir kadının meme kanserine yakalanma olasılığı 1/11'dir.

2. Soğuk algınlığı olan birini öperseniz sizin de soğuk algınlığına yakalanma olasılığınız 0,07'dir.

3. Cezaevinden yeni çıkmış bir kişinin cezaevine dönme şansı %80'dir.

Bir parayı atmayı düşünürsek ve yazı veya tura gelme olasılığının aynı olduğunu hesaba katarsak, tura gelme olasılığını hesaplayabiliriz: 1/2 Bu, olasılığın teorik bir tanımıdır. Matematik kullanılarak teorik olarak belirlenen diğer bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir odada 30 kişi varsa, bu kişilerden ikisinin doğum gününün (yıl hariç) aynı olma olasılığı 0,706'dır.

2. Bir yolculuk sırasında biriyle tanışırsınız ve sohbet sırasında ortak bir arkadaşınız olduğunu keşfedersiniz. Tipik tepki: "Bu olamaz!" Aslında bu ifade uygun değil çünkü böyle bir olayın olasılığı oldukça yüksek -% 22'nin biraz üzerinde.

Böylece deneysel olasılıklar gözlem ve veri toplama yoluyla belirlenir. Teorik olasılıklar matematiksel akıl yürütme yoluyla belirlenir. Yukarıda tartışılanlar gibi deneysel ve teorik olasılık örnekleri ve özellikle de beklemediğimiz örnekler bizi olasılığı çalışmanın önemine yönlendirir. "Gerçek olasılık nedir?" diye sorabilirsiniz. Aslında böyle bir şey yok. Belirli sınırlar içindeki olasılıklar deneysel olarak belirlenebilir. Teorik olarak elde ettiğimiz olasılıklarla örtüşebilir veya örtüşmeyebilirler. Bir olasılık türünü belirlemenin diğerine göre çok daha kolay olduğu durumlar vardır. Örneğin teorik olasılığı kullanarak soğuk algınlığına yakalanma olasılığını bulmak yeterli olacaktır.

Deneysel olasılıkların hesaplanması

İlk önce olasılığın deneysel tanımını ele alalım. Bu tür olasılıkları hesaplamak için kullandığımız temel prensip aşağıdaki gibidir.

Prensip P (deneysel)

n gözlemin yapıldığı bir deneyde, n gözlemde bir E durumu veya olayı m defa meydana geliyorsa, olayın deneysel olasılığına P(E) = m/n denir.

Örnek 1 Sosyolojik araştırma. Solak, sağ elini kullanan ve her iki eli de eşit derecede gelişmiş olan kişilerin sayısını belirlemek için deneysel bir çalışma yapıldı. Sonuçlar grafikte gösterilmektedir.

a) Kişinin sağ elini kullanma olasılığını belirleyin.

b) Kişinin solak olma olasılığını belirleyin.

c) Bir kişinin her iki elinde de eşit derecede akıcı olma olasılığını belirleyin.

d) Çoğu Profesyonel Bowling Birliği turnuvası 120 oyuncuyla sınırlıdır. Bu deneyden elde edilen verilere göre kaç oyuncu solak olabilir?

Çözüm

a) Sağ elini kullananların sayısı 82, solakların sayısı 17, her iki elini eşit derecede akıcı kullananların sayısı ise 1'dir. Toplam gözlem sayısı 100'dür. Buna göre olasılık Bir kişinin sağ elini kullanması P'dir
P = 82/100 veya 0,82 veya %82.

b) Bir kişinin solak olma olasılığı P'dir, burada
P = 17/100 veya 0,17 veya %17.

c) Bir kişinin her iki elinde de eşit derecede akıcı olma olasılığı P'dir; burada
P = 1/100 veya 0,01 veya %1.

d) 120 bowling oyuncusu ve (b)'den %17'sinin solak olmasını bekleyebiliriz. Buradan
120'nin %17'si = 0,17,120 = 20,4,
yani yaklaşık 20 oyuncunun solak olmasını bekleyebiliriz.

Örnek 2 Kalite kontrol . Bir üreticinin ürünlerinin kalitesini üst düzeyde tutması çok önemlidir. Hatta şirketler bu sürecin sağlanması için kalite kontrol müfettişleri çalıştırıyor. Amaç mümkün olan en az sayıda kusurlu ürün üretmektir. Ancak şirket her gün binlerce ürün ürettiğinden, her ürünün kusurlu olup olmadığını test etme lüksüne sahip değildir. Şirket, ürünlerin yüzde kaçının kusurlu olduğunu bulmak için çok daha az ürünü test ediyor.
USDA, yetiştiricilerin sattığı tohumların %80'inin çimlenmesini şart koşuyor. Bir tarım şirketinin ürettiği tohumların kalitesini belirlemek için üretilen tohumlardan 500 adet tohum ekilmektedir. Bunun ardından 417 tohumun filizlendiği hesaplandı.

a) Tohumun çimlenme olasılığı nedir?

b) Tohumlar hükümet standartlarını karşılıyor mu?

Çözüm a) Ekilen 500 tohumdan 417 tanesinin filizlendiğini biliyoruz. Tohum çimlenme olasılığı P ve
P = 417/500 = 0,834 veya %83,4.

b) Gerektiğinde çimlenen tohum yüzdesi %80'i aştığı için tohumlar devlet standartlarını karşılamaktadır.

Örnek 3 Televizyon derecelendirmeleri. İstatistiklere göre Amerika Birleşik Devletleri'nde 105.500.000 evde televizyon bulunmaktadır. Her hafta programların izlenmesine ilişkin bilgiler toplanır ve işlenir. Bir hafta içinde 7.815.000 hane CBS'deki hit komedi dizisi "Everybody Loves Raymond"u ve 8.302.000 hane NBC'deki hit dizi "Law & Order"ı izledi (Kaynak: Nielsen Media Research). Belirli bir hafta boyunca bir evin televizyonunun "Herkes Raymond'u Seviyor" programına ayarlanmış olması olasılığı nedir?

Çözüm Bir evdeki televizyonun "Herkes Raymond'u Seviyor" programına ayarlı olma olasılığı P'dir ve
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ %7,4.
Bir hanedeki televizyonun Law & Order'a ayarlanmış olma ihtimali P'dir ve
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ %7,9.
Bu yüzdelere derecelendirme denir.

Teorik olasılık

Para veya dart atmak, desteden kart çekmek veya montaj hattında ürünlerin kalitesini test etmek gibi bir deney yaptığımızı varsayalım. Böyle bir deneyin olası her sonucuna denir. Çıkış . Olası tüm sonuçların kümesine denir sonuç alanı . Etkinlik bir sonuçlar kümesidir, yani sonuçlar uzayının bir alt kümesidir.

Örnek 4 Dart atmak. Bir dart fırlatma deneyinde bir dartın hedefi vurduğunu varsayalım. Aşağıdakilerden her birini bulun:

b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar şunlardır: siyaha vurmak (B), kırmızıya vurmak (R) ve beyaza vurmak (B).

b) Sonuçların uzayı (siyaha çarpmak, kırmızıya çarpmak, beyaza çarpmak) olup, basitçe (H, K, B) şeklinde yazılabilir.

Örnek 5 Zar atma. Zar, her birinin üzerinde bir ila altı nokta bulunan altı tarafı olan bir küptür.

Diyelim ki bir zar atıyoruz. Bulmak
a) Sonuçlar
b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Sonuç alanı (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Bir E olayının meydana gelme olasılığını P(E) olarak gösteriyoruz. Örneğin “paranın tura gelmesi” H ile gösterilebilir. Bu durumda P(H), paranın tura gelme olasılığını temsil eder. Bir deneyin tüm sonuçlarının gerçekleşme olasılığı aynıysa, bunların eşit olasılıklı olduğu söylenir. Eşit olasılıklı olaylar ile eşit olmayan olaylar arasındaki farkları görmek için aşağıda gösterilen hedefi göz önünde bulundurun.

A hedefi için siyah, kırmızı ve beyaz sektörler aynı olduğundan siyah, kırmızı ve beyaza çarpma olayları eşit derecede olasıdır. Ancak B hedefi için bu renklere sahip bölgeler aynı değildir, yani bunlara çarpma olasılığı eşit değildir.

P Prensibi (Teorik)

Eğer bir E olayı, S sonuç uzayından gelen eşit olasılığa sahip n sayıda sonuçtan m farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa, o zaman teorik olasılık olaylar, P(E)
P(E) = m/n.

Örnek 6 Bir zarın atılmasıyla 3 gelme olasılığı nedir?

Çözüm Bir zarda eşit olasılıklı 6 sonuç vardır ve 3 sayısını atmanın tek bir olasılığı vardır. O zaman P olasılığı P(3) = 1/6 olacaktır.

Örnek 7 Bir zarın üzerine çift sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm Olay çift sayının atılmasıdır. Bu 3 şekilde gerçekleşebilir (eğer 2, 4 veya 6 atarsanız). Eşit olasılığa sahip sonuçların sayısı 6'dır. O halde olasılık P(çift) = 3/6 veya 1/2'dir.

Standart 52 kartlı desteyi içeren birkaç örnek kullanacağız. Bu deste aşağıdaki şekilde gösterilen kartlardan oluşur.

Örnek 8İyi karıştırılmış bir kart destesinden As çekme olasılığı nedir?

Çözüm 52 sonuç vardır (destedeki kart sayısı), bunlar eşit olasılıklıdır (deste iyi karıştırılmışsa) ve As çekmenin 4 yolu vardır, yani P ilkesine göre olasılık
P(bir as çizin) = 4/52 veya 1/13.

Örnek 9İçinde 3 kırmızı ve 4 yeşil top bulunan bir torbadan bakmadan bir top seçtiğimizi varsayalım. Kırmızı topun seçilme olasılığı nedir?

Çözüm Herhangi bir top çekmenin 7 eşit olası sonucu vardır ve kırmızı top çekmenin yollarının sayısı 3 olduğundan, şunu elde ederiz:
P(kırmızı top seçimi) = 3/7.

Aşağıdaki ifadeler Prensip P'nin sonuçlarıdır.

Olasılığın Özellikleri

a) E olayı gerçekleşemiyorsa P(E) = 0 olur.
b) E olayının gerçekleşmesi kesinse P(E) = 1 olur.
c) E olayının meydana gelme olasılığı 0'dan 1'e kadar bir sayıdır: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Örneğin yazı tura atıldığında paranın kenara düşmesi ihtimali sıfırdır. Bir madalyonun tura veya tura gelme olasılığı 1'dir.

Örnek 10 52 kartlık bir desteden 2 kartın çekildiğini varsayalım. Her ikisinin de zirve olma olasılığı nedir?

Çözümİyi karıştırılmış 52 kartlık bir desteden 2 kart çekmenin yollarının sayısı n 52 C2'dir. 52 kartın 13'ü maça olduğundan, 2 maça çekmenin yol sayısı 13 C 2'dir. Daha sonra,
P(2 tepe noktası çekerek) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Örnek 11 6 erkek ve 4 kadından oluşan bir gruptan rastgele 3 kişinin seçildiğini varsayalım. 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı nedir?

Çözüm 10 kişilik bir gruptan 3 kişiyi seçebilmenin yol sayısı 10 C 3'tür. Bir erkek 6 C 1 şekilde seçilebilir, 2 kadın ise 4 C 2 yolla seçilebilir. Saymanın temel prensibine göre 1 erkek ve 2 kadını seçmenin yol sayısı 6 C 1'dir. 4C 2 . Bu durumda 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı;
P = 6C1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Örnek 12 Zar atma. İki zarın toplamının 8 gelme olasılığı nedir?

Çözüm Her zarın 6 olası sonucu vardır. Sonuçlar ikiye katlanır, yani iki zardaki sayıların görünebileceği 6,6 veya 36 olası yol vardır. (Küplerin farklı olması daha iyidir; diyelim ki biri kırmızı, diğeri mavi; bu, sonucun görselleştirilmesine yardımcı olacaktır.)

Toplamları 8'e ulaşan sayı çiftleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. 8'e eşit bir toplam elde etmenin 5 olası yolu vardır, dolayısıyla olasılık 5/36'dır.

Herkesin spor müsabakasının nasıl biteceğini, kimin kazanacağını ve kimin kaybedeceğini önceden bilmek istediğini anlıyorum. Bu bilgilerle spor karşılaşmalarına korkmadan bahis oynayabilirsiniz. Peki bu mümkün müdür ve mümkünse bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır?

Olasılık göreceli bir niceliktir, dolayısıyla herhangi bir olay hakkında kesin olarak konuşamaz. Bu değer, belirli bir yarışmaya bahis oynama ihtiyacını analiz etmenize ve değerlendirmenize olanak tanır. Olasılıkların belirlenmesi, dikkatli çalışma ve anlayış gerektiren bir bilimdir.

Olasılık teorisinde olasılık katsayısı

Spor bahislerinde müsabakanın sonucuna ilişkin çeşitli seçenekler vardır:

ilk takım zaferi;
ikinci takımın zaferi;
çizmek;
toplam

Yarışmanın her sonucunun, başlangıçtaki özelliklerin korunması koşuluyla, bu olayın meydana gelme olasılığı ve sıklığı vardır. Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir olayın olasılığını doğru bir şekilde hesaplamak imkansızdır - çakışabilir veya çakışmayabilir. Böylece bahsiniz kazanabilir veya kaybedebilir.

Maçın sonucunu birçok faktör etkilediği için müsabaka sonuçlarının %100 doğru tahmini mümkün değildir. Doğal olarak bahisçiler maçın sonucunu önceden bilmezler ve sadece sonucu varsayarlar, analiz sistemlerini kullanarak karar verirler ve bahis için belirli oranlar sunarlar.

Bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır?

Bahis şirketinin oranının 2,1/2 olduğunu varsayalım – %50 elde ederiz. Katsayı 2'nin% 50 olasılığa eşit olduğu ortaya çıktı. Aynı prensibi kullanarak başa baş olasılık katsayısını (1/olasılık) elde edebilirsiniz.

Birçok oyuncu, tekrarlanan birkaç yenilgiden sonra kesinlikle bir galibiyet elde edileceğini düşünüyor - bu yanlış bir fikir. Bir bahsi kazanma olasılığı, kayıp sayısına bağlı değildir. Jetonlu bir oyunda arka arkaya birkaç tura atsanız bile, yazı gelme olasılığı aynı kalır - %50.

Cevabımız

Doğru bahsi seçmek sadece sezgiye, spor bilgisine, bahisçinin oranlarına değil aynı zamanda olayın olasılık katsayısına da bağlıdır. Bahislerde böyle bir göstergeyi hesaplama yeteneği, bahis oynanması gereken yaklaşan etkinliği tahmin etmede başarının anahtarıdır.
Bahis şirketlerinde üç tür oran vardır (daha fazla ayrıntı makalede yer almaktadır), bunların türü bir oyuncu için bir olayın olasılığının nasıl hesaplanacağını belirler.

Ondalık oranlar

Bu durumda bir olayın olasılığı şu formül kullanılarak hesaplanır: 1/katsayı. = v.i, burada katsayı. olay katsayısıdır ve v.i sonucun olasılığıdır. Örneğin, bir dolarlık bahisle 1,80'lik bir etkinlik oranı alıyoruz, formüle göre bir matematik işlemi gerçekleştiriyoruz, oyuncu, bahisçiye göre etkinliğin sonuçlanma olasılığının yüzde 0,55 olduğunu alıyor.

Kesirli oranlar

Kesirli oranlar kullanıldığında olasılığı hesaplama formülü farklı olacaktır. Yani, 7/2 katsayısıyla, ilk rakam olası net kâr miktarını, ikincisi ise bu kârı elde etmek için gereken bahis boyutunu ifade ettiğinde denklem şu şekilde görünecektir: toplam için zn.od/ zn.od ve chs.od = v.i . Burada zn.coef katsayının paydasıdır, chs.coef katsayının payıdır, v.i sonucun olasılığıdır. Dolayısıyla, 7/2'lik kesirli bir oran için denklem 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22 gibi görünür, dolayısıyla bahisçiye göre etkinliğin sonucunun olasılığı yüzde 0,22'dir.

Amerikan oranları

Amerikan oranları oyuncular arasında pek popüler değildir ve kural olarak karmaşık ve kafa karıştırıcı bir yapıya sahip olan yalnızca ABD'de kullanılmaktadır. “Bir olayın olasılığı bu şekilde nasıl hesaplanır?” sorusunu cevaplamak için bu katsayıların negatif ve pozitif olabileceğini bilmeniz gerekir.

"-" işaretli bir katsayı, örneğin -150, oyuncunun 100$ net kar elde etmek için 150$ bahis koyması gerektiğini gösterir. Bir olayın olasılığı, negatif katsayıyı negatif katsayı ve 100'ün toplamına bölmeniz gereken formüle göre hesaplanır. Bu, -150'lik bir bahis örneğini kullanmaya benziyor, yani (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, burada 0,6 100 ile çarpılır ve olayın sonuç olasılığı yüzde 60 olur. Aynı formül pozitif Amerikan oranları için de uygundur.

Olasılıklara göre hareket etme ihtiyacı, bazı olayların olasılıkları bilindiğinde ortaya çıkar ve bu olaylarla ilişkili diğer olayların olasılıklarını hesaplamak gerekir.

Olasılıkların eklenmesi, rastgele olayların bir kombinasyonunun veya mantıksal toplamının olasılığını hesaplamanız gerektiğinde kullanılır.

Olayların toplamı A Ve B belirtmek A + B veya A ∪ B. İki olayın toplamı, yalnızca ve yalnızca olaylardan en az birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olaydır. Bu şu anlama geliyor A + B- yalnızca gözlem sırasında meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olay A veya olay B veya aynı anda A Ve B.

Eğer olaylar A Ve B birbiriyle tutarsız ise ve olasılıkları veriliyorsa, olasılıkların toplanmasıyla bu olaylardan birinin bir deneme sonucunda ortaya çıkma olasılığı hesaplanır.

Olasılık toplama teoremi. Birbiriyle bağdaşmayan iki olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

Örneğin avlanırken iki el ateş edilir. Etkinlik A– İlk atışta ördeğe vurmak, olay İÇİNDE– ikinci atıştan vuruş, olay ( A+ İÇİNDE) – birinci veya ikinci atışta veya iki atışta yapılan vuruş. Yani eğer iki olay A Ve İÇİNDE– uyumsuz olaylar, o zaman A+ İÇİNDE- Bu olaylardan en az birinin veya iki olayın meydana gelmesi.

Örnek 1. Bir kutuda aynı büyüklükte 30 top vardır: 10'u kırmızı, 5'i mavi ve 15'i beyaz. Renkli (beyaz olmayan) bir topun bakmadan alınma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. hadiseyi varsayalım A- “kırmızı top alınır” ve olay İÇİNDE- “Mavi top alındı.” Daha sonra olay “renkli (beyaz değil) bir topun alınmasıdır”. Olayın olasılığını bulalım A:

ve olaylar İÇİNDE:

Olaylar A Ve İÇİNDE– karşılıklı olarak uyumsuzdur, çünkü bir top alınırsa farklı renkteki topların alınması imkansızdır. Bu nedenle olasılıkların toplamını kullanıyoruz:

Birkaç uyumsuz olay için olasılıkların eklenmesine ilişkin teorem. Eğer olaylar tam bir olaylar dizisi oluşturuyorsa, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir:

Zıt olayların olasılıklarının toplamı da 1'e eşittir:

Zıt olaylar tam bir olaylar dizisi oluşturur ve tam bir olaylar dizisinin olasılığı 1'dir.

Zıt olayların olasılıkları genellikle küçük harflerle gösterilir P Ve Q. özellikle,

Zıt olayların olasılığına ilişkin aşağıdaki formüller buradan gelir:

Örnek 2. Atış poligonunda hedef 3 bölgeye ayrılmıştır. Belirli bir atıcının birinci bölgedeki hedefe atış yapma olasılığı 0,15, ikinci bölgede 0,23, üçüncü bölgede ise 0,17'dir. Atıcının hedefi vurma olasılığını ve atıcının hedefi ıskalama olasılığını bulun.

Çözüm: Atıcının hedefi vurma olasılığını bulun:

Atıcının hedefi ıskalama olasılığını bulalım:

Olasılıkların hem toplanması hem de çarpımını kullanmanız gereken daha karmaşık problemler için "Olasılıkların toplanması ve çarpımını içeren çeşitli problemler" sayfasına bakın.

Karşılıklı eşzamanlı olayların olasılıklarının eklenmesi

Bir olayın meydana gelmesi aynı gözlemde ikinci bir olayın meydana gelmesini dışlamıyorsa iki rastgele olaya ortak olay adı verilir. Örneğin, bir zar atıldığında olay A 4 sayısının piyasaya sürüldüğü düşünülüyor ve etkinlik İÇİNDE– çift sayıyı yuvarlamak. 4 çift sayı olduğundan iki olay uyumludur. Uygulamada, karşılıklı eşzamanlı olaylardan birinin meydana gelme olasılığının hesaplanmasında sorunlar vardır.

Ortak olaylar için olasılık toplama teoremi. Ortak olaylardan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına, yani her iki olayın ortak gerçekleşme olasılığının çıkarılmasına, yani olasılıkların çarpımına eşittir. Ortak olayların olasılıkları formülü aşağıdaki biçimdedir:

Olaylardan bu yana A Ve İÇİNDE uyumlu, etkinlik A+ İÇİNDEüç olası olaydan biri meydana gelirse meydana gelir: veya AB. Uyumsuz olayların toplanması teoremine göre aşağıdaki gibi hesaplıyoruz:

Etkinlik A iki uyumsuz olaydan birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelecektir: veya AB. Ancak birbiriyle bağdaşmayan birden fazla olaydan bir olayın meydana gelme olasılığı, tüm bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

Aynı şekilde:

(6) ve (7) numaralı ifadeleri (5) numaralı ifadede değiştirerek, ortak olaylar için olasılık formülünü elde ederiz:

Formül (8) kullanılırken olayların dikkate alınması gerekir. A Ve İÇİNDE Belki:

karşılıklı olarak bağımsız;
karşılıklı bağımlı.

Birbirinden bağımsız olaylar için olasılık formülü:

Birbirine bağlı olaylar için olasılık formülü:

Eğer olaylar A Ve İÇİNDE tutarsızsa, bu durumda tesadüfleri imkansız bir durumdur ve bu nedenle, P(AB) = 0. Uyumsuz olaylar için dördüncü olasılık formülü:

Örnek 3. Otomobil yarışlarında, ilk arabayı kullandığınızda kazanma şansınız daha yüksektir, ikinci arabayı kullandığınızda ise kazanma şansınız daha yüksektir. Bulmak:

her iki arabanın da kazanma olasılığı;
en az bir arabanın kazanma olasılığı;

1) İlk arabanın kazanma olasılığı ikinci arabanın sonucuna bağlı değildir, dolayısıyla olaylar A(ilk araba kazanır) ve İÇİNDE(ikinci araba kazanacak) – bağımsız etkinlikler. Her iki arabanın da kazanma olasılığını bulalım:

2) İki arabadan birinin kazanma olasılığını bulun:

Olasılıkların toplamı problemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın.

Örnek 4.İki madeni para atılıyor. Etkinlik A- ilk madeni paranın üzerindeki armanın kaybı. Etkinlik B- ikinci madalyonun üzerindeki armanın kaybı. Bir olayın olasılığını bulun C = A + B .

Olasılıkların Çarpılması

Olasılık çarpımı, olayların mantıksal çarpımının olasılığının hesaplanması gerektiğinde kullanılır.

Bu durumda rastgele olayların bağımsız olması gerekir. Bir olayın meydana gelmesi ikinci olayın meydana gelme olasılığını etkilemiyorsa iki olaya karşılıklı bağımsız denir.

Bağımsız olaylar için olasılık çarpımı teoremi.İki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı A Ve İÇİNDE bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek 5. Para art arda üç kez atılıyor. Armanın üç kez de ortaya çıkma olasılığını bulun.

Çözüm. Armanın ilk, ikinci ve üçüncü atışta görünme olasılığı. Armanın üç kez de görünme olasılığını bulalım:

Olasılık çarpım problemlerini kendi başınıza çözün ve ardından çözüme bakın

Örnek 6. Dokuz yeni tenis topu içeren bir kutu var. Oynamak için üç top alınır ve oyundan sonra geri konur. Top seçimi yapılırken oynanan toplar, oynanmayan toplardan ayırt edilmez. Üç oyun sonunda kutuda oynanmamış top kalmama olasılığı nedir?

Örnek 7. Kesilmiş alfabe kartlarına Rus alfabesinin 32 harfi yazılmıştır. Beş kart rastgele arka arkaya çekilir ve görünüm sırasına göre masaya yerleştirilir. Harflerin "son" kelimesini oluşturma olasılığını bulun.

Örnek 8. Tam bir kart destesinden (52 sayfa) aynı anda dört kart çıkarılır. Bu kartların dördünün de farklı türden olma olasılığını bulun.

Örnek 9.Örnek 8'deki görevin aynısı, ancak her kart çıkarıldıktan sonra desteye geri gönderilir.

Olasılıkların hem toplamasını hem de çarpmasını kullanmanız ve ayrıca çeşitli olayların çarpımını hesaplamanız gereken daha karmaşık problemler, "Olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili çeşitli problemler" sayfasında bulunabilir.

Birbirinden bağımsız olaylardan en az birinin meydana gelme olasılığı, zıt olayların olasılıklarının çarpımının 1'den çıkarılmasıyla, yani aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Örnek 10. Kargo üç ulaşım yöntemiyle teslim edilir: nehir, demiryolu ve karayolu taşımacılığı. Kargonun nehir taşımacılığı ile teslim edilme olasılığı 0,82, demiryolu taşımacılığı ile 0,87, karayolu taşımacılığı ile teslim edilme olasılığı ise 0,90'dır. Kargonun üç taşıma türünden en az biriyle teslim edilme olasılığını bulun.

Bahsinizin başarılı olmasının matematiksel olasılığını bilmek ister misiniz? O zaman sana iki müjdem var. Birincisi: Ülkeler arası yeteneği hesaplamak için karmaşık hesaplamalar yapmanıza ve çok fazla zaman harcamanıza gerek yok. Çalışması birkaç dakika sürecek basit formülleri kullanmak yeterlidir. İkincisi: Bu makaleyi okuduktan sonra herhangi bir işleminizin geçme olasılığını kolayca hesaplayabilirsiniz.

Ülkeler arası yeteneği doğru bir şekilde belirlemek için üç adım atmanız gerekir:

Bahis şirketinin ofisine göre bir olayın sonucunun olasılık yüzdesini hesaplayın;
İstatistiksel verileri kullanarak olasılığı kendiniz hesaplayın;
Her iki olasılığı da dikkate alarak bahsin değerini bulun.

Sadece formülleri değil aynı zamanda örnekleri de kullanarak adımların her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Hızlı Atlama

Bahisçi oranlarına dahil edilen olasılığın hesaplanması

İlk adım, bahisçinin belirli bir sonucun şansını hangi olasılıkla tahmin ettiğini bulmaktır. Bahis şirketlerinin oranları bu şekilde belirlemediği açıktır. Bunu yapmak için aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

PB=(1/K)*100%,

burada P B, bahisçinin ofisine göre sonucun olasılığıdır;

K – sonuç için bahisçinin oranları.

Diyelim ki Londra Arsenal'in Bayern Münih maçında kazanma ihtimali 4. Bu da bahisçinin kazanma ihtimalini (1/4)*%100=%25 olarak değerlendirdiği anlamına geliyor. Veya Djokovic Youzhny'ye karşı oynayacak. Novak'ın galibiyet çarpanı 1,2, şansı (1/1,2)*%100=%83.

Bahis şirketinin kendisi her oyuncunun ve takımın başarı şansını bu şekilde değerlendirir. İlk adımı tamamladıktan sonra ikinci adıma geçiyoruz.

Bir olayın olasılığının oyuncu tarafından hesaplanması

Planımızın ikinci noktası, olayın olasılığına ilişkin kendi değerlendirmemizdir. Motivasyon ve oyunun tonu gibi parametreleri matematiksel olarak hesaba katamadığımız için basitleştirilmiş bir model kullanacağız ve yalnızca önceki toplantılardan elde edilen istatistikleri kullanacağız. Bir sonucun istatistiksel olasılığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

PVE=(UM/M)*100%,

NeredePVE– oyuncuya göre bir olayın olasılığı;

UM – böyle bir olayın meydana geldiği başarılı maçların sayısı;

M – toplam eşleşme sayısı.

Daha açık hale getirmek için örnekler verelim. Andy Murray ve Rafael Nadal aralarında 14 maç oynadı. Bunlardan 6'sında toplam 21'in altında, 8'inde ise toplam sayı daha fazlaydı. Bir sonraki maçın daha yüksek toplamla oynanma olasılığını bulmanız gerekiyor: (8/14)*100=%57. Valencia, Mestalla'da Atlético'ya karşı 74 maç oynadı ve bu maçların 29'unu kazandı. Valencia'nın kazanma olasılığı: (29/74)*100%=39%.

Ve tüm bunları yalnızca önceki oyunların istatistikleri sayesinde öğreniyoruz! Doğal olarak herhangi bir yeni takım veya oyuncu için böyle bir olasılığı hesaplamak mümkün olmayacağından bu bahis stratejisi yalnızca rakiplerin birden fazla karşılaştığı maçlar için uygundur. Artık bahis şirketinin ve bizim sonuç olasılıklarımızı nasıl belirleyeceğimizi biliyoruz ve son adıma geçmek için gerekli tüm bilgiye sahibiz.

Bir bahisin değerinin belirlenmesi

Bir bahsin değeri (değeri) ile geçilebilirlik arasında doğrudan bir bağlantı vardır: değer ne kadar yüksek olursa, geçme şansı da o kadar yüksek olur. Değer şu şekilde hesaplanır:

v=PVE*K-100%,

burada V değerdir;

P I – bahisçiye göre sonuç olasılığı;

K – sonuç için bahisçinin oranları.

Diyelim ki Milan'ın Roma'ya karşı oynayacağı maçta galibiyet üzerine bahis oynamak istiyoruz ve kırmızı-siyahlıların kazanma olasılığını %45 olarak hesaplıyoruz. Bahis şirketi bu sonuç için bize 2,5 oran sunuyor. Böyle bir bahis değerli olur mu? Hesaplamaları yapıyoruz: V=%45*2,5-100%=%12,5. Harika, geçme şansı yüksek olan değerli bir bahisimiz var.

Başka bir vakayı ele alalım. Maria Sharapova, Petra Kvitova'ya karşı oynuyor. Maria'nın kazanması için, hesaplamalarımıza göre olasılığı %60 olan bir anlaşma yapmak istiyoruz. Bahisçiler bu sonuç için 1,5 çarpanı sunuyor. Değeri belirliyoruz: V=%60*1,5-100=-%10. Gördüğünüz gibi bu bahsin hiçbir değeri yoktur ve kaçınılmalıdır.