Метод гармонической линеаризации. Линеаризация нелинейных мм
- Все переменные выражаются через x 1 ,x 2
- Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x 1 2 +x 1 x 2 , записываем как x1^2+x1*x2 .
Все рассматриваемые ниже методы основываются на разложении нелинейной функции общего вида f(x) в ряд Тейлора до членов первого порядка в окрестности некоторой точки x 0:
где 
– отбрасываемый член второго порядка малости.
Таким образом, функция f(x) аппроксимируется в точке x 0 линейной функцией:
,
где x 0 – точка линеаризации.
Замечание
. Линеаризацию следует использовать с большой осторожностью, поскольку иногда она дает весьма грубое приближение.
Общая задача нелинейного программирования
Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:
Пусть x t – некоторая заданная оценка решения. Использование непосредственной линеаризации приводит к следующей задаче:
Эта задача представляет собой ЗЛП. Решая ее, находим новое приближение x t +1 , которое может и не принадлежать допустимой области решений S.
Если , то оптимальное значение линеаризованной целевой функции, удовлетворяющее неравенству:
может не быть точной оценкой истинного значения оптимума.
Для сходимости к экстремуму достаточно, чтобы для последовательности точек { x t }, полученных в результате решения последовательности подзадач ЛП, выполнялось следующее условие:
значение целевой функции и невязки по ограничениям в точке x t +1 должно быть меньше их значений в точке x t .
Пример №1
.
Построим допустимую область S (см. рис.).
Допустимая область S состоит из точек кривой h(x)=0, лежащей между точкой (2;0), определяемой ограничением x 2 ≥0, и точкой (1;1), определяемой ограничением g(x) ≥0.
В результате линеаризации задачи в точке x 0 =(2;1) получаем следующую ЗЛП:
Здесь представляет собой отрезок прямой , ограниченный точками (2.5; 0.25) и (11/9; 8/9). Линии уровня линеаризованной целевой функции представляют собой прямые с наклоном -2, тогда как линии уровня исходной целевой функции – окружности с центром в точке (0;0). Ясно, что решением линеаризованной задачи является точка x 1 =(11/9; 8/9). В этой точке имеем:
так что ограничение–равенство нарушается. Произведя новую линеаризацию в точке x 1 , получаем новую задачу:
Новое решение лежит на пересечении прямых 
и и имеет координаты x 2 =(1.0187; 0.9965). Ограничение– равенство (
) все еще нарушается, но уже в меньшей степени. Если произвести еще две итерации, то получим очень хорошее приближение к решению x * =(1;1), f(x *)=2
Таблицa - Значения целевой функции для некоторых итераций:
| Итерация | f | g | h |
| 0 | 5 | 3 | –1 |
| 1 | 2,284 | 0,605 | –0,0123 |
| 3 | 2,00015 | 3,44×10 -4 | –1,18×10 -5 |
| Оптимум | 2 | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что значения f,g и h монотонно улучшаются. Однако такая монотонность характерна для задач, функции которых являются "умеренно" нелинейными. В случае функций с ярко выраженной нелинейностью монотонность улучшения нарушается и алгоритм перестает сходиться.
Существует три способа усовершенствования методов непосредственной линеаризации:
1. Использование линейного приближения для отыскания направления спуска.
2. Глобальная аппроксимация нелинейной функции задачи при помощи кусочно–линейчатой функции.
3. Применение последовательных линеаризаций на каждой итерации для уточнения допустимой области S.
Частотные методы, получившие широкое распространение при анализе и синтезе линейных систем, имеют ряд преимуществ перед другими методами исследований: во-первых, простота составления и преобразования структурных схем и передаточных функций; во-вторых, удобство и большая наглядность расчетов с помощью частотных характеристик. Поэтому естественным было желание использовать эти методы при исследовании нелинейных систем. Это оказалось возможным на основе метода гармонической линеаризации нелинейных звеньев систем автоматического управления.
Основы метода гармонической линеаризации были изложены в работах выдающихся русских ученых Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова в 1930-х гг. В дальнейшем идея этого метода применительно к системам автоматического управления была развита Е. П. Поповым и Л. С. Гольдфарбом.
Этот метод позволяет исследовать устойчивость нелинейных систем с определением параметров (амплитуда, частота) возможных автоколебаний, производить выбор корректирующих цепей, обеспечивающих заданные характеристики. При этом предполагается гармонический характер колебаний в нелинейной системе, что определяет решение поставленных задач в первом приближении. Однако для систем, линейная часть которых является фильтром низких частот, допускаемая погрешность невелика, и она будет тем меньше, чем выше фильтрующие свойства линейной части исследуемой системы.
Основная идея метода гармонической линеаризации заключается в следующем. Система автоматического управления представляется в виде двух частей - линейной и нелинейной (рис. 10.12). Пусть передаточная функция линейной части равна
- --- и уравнение линейной части имеет следующий Пр(р)
- (10.30)
Яр(р) = Х(р) = -Мр(р)ир(р).
и = /*(х),
где Р(х) - заданная нелинейная функция.
Нелинейная V
Линейная
Рис. 10.12. Представление АСУ в виде нелинейной и линейной части
В формуле (10.31) для простоты положено, что выходная координата нелинейного звена зависит только от величины входного сигнала и не зависит от его производных или интегралов, хотя рассматриваемый метод применим и к более сложным нелинейным зависимостям, а также к системам с несколькими нелинейными звеньями.
Ставится задача отыскания параметров автоколебаний нелинейной системы. Автоколебания в нелинейной системе предполагается синусоидальными, хотя, строго говоря, эти колебания имеют нелинейный характер. Однако ошибка такого предположения, как уже отмечалось, будет незначительной, так как ликерная часть системы, являющаяся фильтром низких частот, подавляет колебания с высокими частотами. Поэтому будем отыскивать автоколебания системы в виде синусоиды
х = A sin со/.
При входном синусоидальном сигнале на выходе нелинейного звена появятся некоторые периодические колебания. Их можно представить в виде бесконечного ряда гармонических составляющих
U = F(x) =
С 0 + Z), sin со/ + С, cos со/ + D 2 sin 2со/ + С 2 cos со/ + ..., (10.33)
где С 0 , />, С„ D 2 , С 2 , ... - коэффициенты ряда Фурье.
В дальнейшем для упрощения считаем, что постоянная составляющая на выходе нелинейного звена отсутствует. Это означает, что нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и входное воздействие не содержит постоянной составляющей. Учитывая фильтрующие свойства линейной части, можно пренебречь всеми высшими гармоническими составляющими ряда Фурье. Поэтому приближенно выходной сигнал нелинейного элемента можно выразить через первую гармонику ряда (10.33):
U = D. sin со/ + С. cosco/. 1 §
Из (10.32) находим:
sin со/ = -; cos со/ = А
Подставив (10.35) в (10.34), получим:
С, Ах
Ася сИ
Если обозначить (2 { (Л) = -0 2 (Л) = -, то будут справед-
ливы следующие выражения:
ОЛА) =
- 0ЛА) =
| /ХЛзіпф^іпфг/ф;
- (10.37)
| / г (Л8ІПф)С08фС/ф,
где ф = СО/.
Уравнение (10.36) в операторной форме принимает вид:
и(1р)=01(А)Х(р) + Я2Шр.х(р). (10.38)
В результате проведенных преобразований нелинейное уравнение (10.31) заменяется приближенным уравнением для первой гармоники (10.38), похожим на линеаризованное уравнение. Отличие заключается в том, что коэффициенты полученного уравнения не является постоянными величинами, а зависят от амплитуды А и частоты со отыскиваемых параметров автоколебаний.
Такая замена уравнений называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты уравнения (10.38) О^А) и носят название гармонических коэффициентов усиления нелинейного звена.
Произведем гармоническую линеаризацию характеристики нелинейного элемента (рис. 10.13).
Рис. 10.13.
Для этого необходимо найти выражения для гармонических коэффициентов усиления нелинейного звена Q{A) и Q 2 (A) (10.37). На рис. 10.14 графически определен вид функции F^sincp) при синусоидальном входном сигнале нелинейного элемента x(t ) = ylsintp, cp = со/. Получаем:
- (2, {А) = - [ F(A sin vp)sin v))di = кА j 0
- - Г csin ldl = -(-COSV|/)|J* = -- (-cosy 2 + cosy,), кА J к А У| я A
так как у 2 = я - у 2 , то cosy 2 =-cosy, и Q } (A) = -cosy,.
Определяем 0 2 {Л):
Таким образом, уравнение (10.38) имеет следующий вид
Используя гармоническую линеаризацию характеристики нелинейного элемента, можно определить частоту и амплитуду возможных автоколебаний системы.
После подстановки (10.38) в (10.30) находим уравнение свободных колебаний в замкнутой нелинейной системе:
О р (р)Х(р) + М р (р) =0.(10.39)
На основании (10.39) характеристическое уравнение всей замкнутой системы будет иметь вид:
- (10.40)
Теперь необходимо найти периодическое решение х = /4$тсо/ исходного уравнения (10.39). Периодическое движение в системе возможно только в том случае, если соответствующее характеристическое уравнение (10.40) будет иметь пару мнимых корней. Для отыскания условий, при которых характеристическое уравнение будет иметь мнимые корни, можно воспользоваться любым критерием устойчивости линейных систем.
Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова. Выражение для кривой Михайлова определяется характеристическим уравнением системы (10.40) при подстановке X = jQ.
»,№) + М/>П)0, (4)+ , (10.41)
где П - текущее значение частоты.
Выражение (10.41) можно переписать в виде
D(jQ) =и ] (П,а>,А) + уТ,(П,со,/1).
Следует заметить, что амплитуда и частота автоколебаний (А, со) входят как параметры уравнения кривой Михайлова. Для того чтобы система вышла на границу колебательной устойчивости, кривая Михайлова должна пройти через начало координат (рис. 10.15).
Известно, что частота, при которой кривая Михайлова пройдет через начало координат определяет частоту незатухающих колебаний в системе. В этом случае Q = со.
Таким образом, амплитуда и частота периодических колебаний в нелинейной системе л: = A sin соt могут быть определены при решении системы уравнений:
?/,(со,/!)-0; (10.43)
Е, (со, А) = 0.
Если полученные значения для А и со вещественные и положительные, то это означает, что в исследуемой системе возможны автоколебания с найденными значениями параметров. В противном случае автоколебания в системе возникнуть не могут.
После того, как параметры возможных автоколебаний будут определены, необходимо сделать проверку на устойчивость этого периодического решения, т. е. выяснить, сходится ли переходный процесс к периодическим колебаниям или нет (рис. 10.16). Для этого сообщают системе отклонение от периодического ре-
Рис. 10.16. а - решение сходится; б - решение расходится
шения по амплитуде (А + А А). Это приведет к отклонению кривой Михайлова от начала координат в ту или другую сторону (рис. 10.17). Устойчивым периодическим колебаниям соответствует положение 1, а неустойчивым - положение II деформированной кривой Михайлова. Для устойчивости автоколебаний необходимо, чтобы при АЛ > 0 кривая отклонялась в положение I, а при АА
|
К 8А) |
где индекс звездочка означает, что частные производные, взятые от общих выражений (10.42), вычисляются при подстановке параметров А, О. = со проверяемого периодического решения. Если неравенство (10.44) не выполняется, то это соответствует неустойчивому периодическому решению. Условие (10.44) справедливо при исследовании систем до 4 порядка включительно. Для систем более высокого порядка требуется просматривать ход всей кривой Михайлова.
При отсутствии автоколебательных режимов поведение исследуемой системы может быть самым различным. В настоящее время имеются приближенные способы определения переходного процесса в нелинейных системах при определенных входных воздействиях.
Рассмотрим пример. Для этого воспользуемся системой, рассмотренной в п. 10.3. На основании уравнений (10.21) и (10.23) составляется структурная схема исследуемой системы (рис. 10.18) и определяется передаточная функция линейной части:
Р(ЧР + 1)
м Р (р)
О р {р) "
|
р(Ър+) |
||||
Рис. 10.18. Пример исследуемой системы
Для характеристики нелинейного элемента (рис. 10.11???) находим выражения для гармонических коэффициентов усиления нелинейного звена:
Характеристическое уравнение замкнутой системы (10.40) с учетом (10.45) и (10.46) имеет следующий вид:
Х(Т{к + !) + &,
4СД X - ? -- ??
к А 2 со
После подстановки X = усо в (10.47) и разделения действительной и мнимой частей получаем уравнения (10.43) для определения амплитуды и частоты колебаний в нелинейной системе:
Решение полученных уравнений относительно А и со дает искомые параметры автоколебаний.
Контрольные вопросы
- 1. Каковы допущения при использовании метода гармонической линеаризации?
- 2. Произвести гармоническую линеаризацию характеристики нелинейного элемента (рис. 10.7, г) с параметрами Ь = 1,5; с = 5.
Зависимости
Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной
Представление результатов измерений
Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:
а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;
б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов;
в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.
Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):
где θ y – доверительная граница неисключенной систематическо погрешности среднего значения X j -го аргумента. При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по
где S x j – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X j -го аргумента.
При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:
где t p – квантиль Стьюдента при доверительной вероятности P с эффективным числом степеней свободы k эф , определяемом при малых объемах выборки по формуле:
При больших объемах число степеней свободы находится по формуле
Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного
измерения определяется по правилам, изложенным выше.
Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.
Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации. Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений Xi аргументов нелинейная функциональная зависимость линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются). Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего
значения и среднего квадратического отклонения функции. Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:
Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R . Остаточным членом
пренебрегают, если
где X S – среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения x i -го аргумента. Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в
функциональную зависимость средних арифметических X i , значений аргументов:
Второе слагаемое
есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные
Коэффициентами влияния.
Отклонения ΔXi должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R . Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:
значения частных производных функциональной зависимости определяются при средних значениях аргументов
Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения. Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования
В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума.
Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса ) позволяет определить условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных САУ. Автоколебания определяются предельными циклами в фазовом пространстве систем. Предельные циклы разделяют пространство (в общем случае - многомерное ) на области затухающих и расходящихся процессов. В результате расчета параметров автоколебаний можно сделать заключение о их допустимости для данной системы или о необходимости изменения параметров системы.
Метод позволяет:
Определить условия устойчивости нелинейной системы;
Найти частоту и амплитуду свободных колебаний системы;
Синтезировать корректирующие цепи, для обеспечения требуемых параметров автоколебаний;
Исследовать вынужденные колебания и оценивать качество переходных процессов в нелинейных САУ.
Условия применимости метода гармонической линеаризации.
1) При использовании метода предполагается, что линейная часть системы устойчива или нейтральна.
2) Сигнал на входе нелинейного звена близок по форме к гармоническому сигналу. Это положение требует пояснений.
На рис.1 представлены структурные схемы нелинейной САУ. Схема состоит из последовательно соединенных звеньев: нелинейного звена y=F(x) и линейно-
го, которое описывается дифференциальным уравнением
При y = F(g - x) = g - x получим уравнение движения линейной системы.
Рассмотрим свободное движение, т.е. при g(t) º 0. Тогда,
В случае, когда в системе существуют автоколебания, свободное движение системы является периодическим. Непериодическое движение с течением времени оканчивается остановкой системы к некотором конечном положении (обычно, на специально предусмотренном ограничителе).
При любой форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента сигнал на его выходе будет содержать кроме основной частоты высшие гармоники. Предположение о том, что сигнал на входе нелинейной части системы можно считать гармоническим, т.е., что
x(t)@ a×sin(wt),
где w=1/T, T - период свободных колебаний системы, равносильно предположению о том, что линейная часть системы эффективно фильтрует высшие гармоники сигнала y(t) = F(x (t)).
В общем случае при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала x(t) сигнал на выходе может быть преобразован по Фурье:
Коэффициенты ряда Фурье
.
Для упрощения выкладок положим C 0 =0, т.е., что функция F(x) симметрична относительно начала координат. Такое ограничение не обязательно и сделано анализа. Появление коэффициентов C k ¹ 0 означает, что, в общем случае нелинейное преобразование сигнала сопровождается и фазовыми сдвигами преобразуемого сигнала. В частности, это имеет место в нелинейностях с неоднозначными характеристиками (с различного рода гистерезисными петлями), причем как запаздывание так и, в некоторых случаях, опережение по фазе .
Предположение об эффективной фильтрации означает, что амплитуды высших гармоник на выходе линейной части системы малы, то есть
Выполнению этого условия способствует то, что во многих случаях амплитуды гармоник уже непосредственно на выходе нелинейности оказываются существенно меньше амплитуды первой гармоники. Например, на выходе идеального реле при гармоническом сигнале на входе
y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))
четные гармоники отсутствуют, а амплитуда третьей гармоники в три раза меньше амплитуды первой гармоники
Сделаем оценку степени подавления высших гармоник сигнала в линейной части САУ. Для этого сделаем ряд предположений.
1) Частота свободных колебаний САУ приблизительно равна частоте среза ее линейной части. Отметим, что частота свободных колебаний нелинейной САУ может существенно отличаться от частоты свободных колебаний линейной системы так, что это допущение не всегда корректно .
2) Показатель колебательности САУ примем равным M=1.1.
3) ЛАХ в окрестностях частоты среза (w с) имеет наклон -20 дБ/дек. Границы этого участка ЛАХ связаны с показателем колебательности соотношениями
4) Частота w max является сопрягающей с участком ЛФХ, так что при w > w max наклон ЛАХ не менее минус 40 дБ/дек.
5) Нелинейность - идеальное реле с характеристикой y = sign(x) так, что на ее выходе нелинейности будут присутствовать только нечетные гармоники.
Частоты третьей гармоники w 3 = 3w c , пятой w 5 = 5w с,
lgw 3 = 0.48+lgw c ,
lgw 5 = 0.7+lgw c .
Частота w max = 1.91w с, lgw max = 0.28+lgw c . Сопрягающая частота отстоит от частоты среза на 0.28 декады.
Уменьшение амплитуд высших гармоник сигнала при их прохождении через линейную часть системы составит для третьей гармоники
L 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 дБ, то есть в 4.8 раза,
для пятой - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 дБ, то есть в 13 раз.
Следовательно, сигнал на выходе линейной части окажется близким к гармоническому
Это эквивалентно предположению, что система является низкочастотным фильтром.
Я должен был выложить эту статью вчера вечером, как и обещал, но этому мне помешала советская виниловая техника, которая требует полного разбора независимо от серьезности поломки.
Продолжу делаться секретами ТАУ. На этот раз вопрос коснется линеаризации. Очень часто два параметра связаны между собой нелинейной зависимостью. Гиперболической, параболической, логарифмической и т. п. Это очень неудобно при ведении расчетов. К примеру, у нас имеется энкодер на выходе которого серия импульсов. Частота вращения энкодера обратно-пропорциональна периоду следования импульсов. Общая задача - получить обратную связь по скорости. Вся шкала от 0 до 100% должна получиться относительно линейной, дабы впоследствии обеспечить стабилизацию скорости.
По катом графики из Calca, много воды и капелька теории:
В openOffice Calc построим нашу кривую по исходной зависимости:
Зависимость частоты вращения энкодера в процентах от периода следования импульсов в тиках таймера.
Как видите, для нахождения частоты вращения придется делить. Это ресурсозатратно. Более того, это у нас гипербола, а где-то может быть логарифм. Это еще хуже. Нужно упрощать. Нужно линеаризовать. В чем заключается линеаризация? Тут может быть два подхода.
Возьмем, к примеру, кривую насыщения стали:
Если работать в диапазоне 0-а, то можно считать, что данный элемент линеен. Смысл такой задачи -ограничить себя в рабочем диапазоне. Где-то это подходит. Где-то нет.
В нашем случае правильным решением будет другой способ - мы разобьем нашу кривую на интервалы. К примеру кривую насыщения можно разбить на участки 0-а, а-б, б-… Внутри этого участка зависимость между напряженностью магнитного поля и намагниченностью грубо говоря прямо пропорциональна.
Разобьем наш график на два участка. Вот так:
Грубовато выглядит, согласен. Лучшим вариантом бы было разбить кривую на три участка. Но в нашем случае и этого достаточно.
Воспользуемся формулой отрезка:
Из графика определим координаты:
И вычислим наши функции:
Для участка малых скоростей:
Для участка больших скоростей:
Посмотрим что у нас получилось:
Да, вполне сойдет. Как раз на больших скоростях малая погрешность. Теперь посмотрим как выглядит зависимость между абсолютной и относительной скоростями:
Ну, в области малых скоростей все выглядит не самым лучшим образом, но на глаз мы там толком ничего и не увидим, а вот в области больших скоростей относительно линейно. Лично меня вполне устраивает подобный результат.
Теперь все что нужно - по приходу очередного импульса от энкодера использовать следующий код:
//у меня этот код вызывается таймером, отвечающим за ШИМ привода.
tic++;
if (Encoder.Impulse){
if (tic>130)//частота вращения больше 22%
speed=-0,016*tic+24;
else //частота вращения меньше 22%
speed=-0,76*tic+121;
tic=0;
}
else{//на нулевой скорости период следования импульсов равен бесконечности
if (tic>2000){//поэтому если мы превысили некоторую мыслимую величину
speed=0;//то считаем что энкодер неподвижен.
tic-=1000;//тики приравнивать к нулю при этом нельзя -если следующим тиком придет импульс, то привод насчитает огромную скорость.
}
}
Описанный здесь метод не претендует на звание единственного и повторимого. Основной смысл данной статьи - рекомендация моделировать и рассчитывать подобные вещи.
В следующие разы мы рассмотрим цифровые реализации типовых звеньев и постепенно создадим библиотеку компонентов.
