Линейная зависимость и независимость решений. Что значит "линейная зависимость"

Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.

Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .

Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

Пример 1. Многочлен является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.

Решение.

Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.

Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Окончательно получим

Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.

Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов

Решение.

a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю

Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде

Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">

Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение .

Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;

b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)

Применяя аналогичные рассуждения, получим

Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**) . Следовательно, система векторов – линейно зависима.

Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)

В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.

Из соотношения (***) получаем или Обозначим .

Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)

1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .

3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).

4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.

5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.

6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .

c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.

10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:

a). a+ b, b, c.

b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число

c). a+ b, a+c, b+c.

11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?

12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.

Перейдем к описанию свойств линейных пространств. В первую очередь к ним относятся отношения между его элементами.

Линейной комбинацией элементов над полем действительных чиселR называется элемент

Определение. Множество элементов ,называется линейно независимым, если из равенства

с необходимостью следует, что ,. Ясно, что любая часть элементов изтакже линейно независимая. Если хотя бы одно из,, то множествоназывается линейно зависимым.

Пример III .6. Пусть дано векторное множество . Если один из векторов, например,, то такая система векторов линейно зависима. В самом деле, пусть множество,, …,,, …,линейно независимо, тогда из равенстваследует, что.

Добавляя к этому множеству вектор, умноженный на, по-прежнему имеем равенство

Следовательно, множество векторов, как, впрочем, и любых других элементов, содержащих нулевой элемент, всегда линейно зависимо ▼.

Замечание. Если множество векторов пусто, то оно линейно независимо. В самом деле, если нет никаких индексов, то невозможно выбрать им соответствующие не равные нулю числа, чтобы сумма вида (III.2) была равна 0. Такая интерпретация линейной независимости может быть принята за доказательство, тем более что такой результат хорошо согласуется с теорией 11.

В связи со сказанным определение линейной независимости можно сформулировать так: множество элементов линейно независимо, еслии нет ни одного индекса, для которого. В частности, это множество может быть и пустым.

Пример III .7. Любые два скользящих вектора линейно зависимы. Напомним, что скользящими векторами называются векторы, лежащие на одной прямой. Взяв единичный вектор , можно получить любой другой вектор умножением на соответствующее действительное число, то естьили. Следовательно, уже любые два вектора в одномерном пространстве линейно зависимы.

Пример III .8. Рассмотрим пространство полиномов, где ,,,. Запишем

Полагая ,,, получим, тождественно поt

то есть множество линейно зависимо. Заметим, что любое конечное множество вида,линейно независимо. Для доказательства рассмотрим случай, тогда из равенства

в случае предположения о его линейной зависимости, следовало бы, что существуют не все равные нулю числа  1 ,  2 ,  3 , что тождественно для любого выполняется (III.3), но это противоречит основной теореме алгебры: любой многочлен n -ой степени имеет не более чем n действительных корней. В нашем случае это уравнение имеет только два корня, а не бесконечное их множество. Получили противоречие.

§ 2. Линейные комбинации. Базисы

Пусть . Будем говорить, чтоестьлинейная комбинация элементов .

Теорема III .1 (основная). Множество ненулевых элементов линейно зависимо тогда и только тогда, когда некоторый элемент,является линейной комбинацией предшествующих элементов.

Доказательство . Необходимость . Предположим, что элементы ,, …,линейно зависимы и пустьпервое натуральное число, для которого элементы,, …,линейно зависимы, тогда

при не всех равных нулю и обязательно(иначе этим коэффициентом было бы, что противоречило бы заявленному). Отсюда имеем линейную комбинацию

Достаточность очевидна, поскольку, каждое множество, содержащее линейно зависимое множество, само линейно зависимо ▼.

Определение. Базисом (координатной системой) линейного пространства L называется множество A линейно независимых элементов, такое, что каждый элемент из L является линейной комбинацией элементов из A , 11.

Мы будем рассматривать конечномерные линейные пространства ,.

Пример III .9. Рассмотрим трехмерное векторное пространство . Возьмем единичные векторы,,. Они образуют базис при.

Покажем, что векторы линейно независимы. В самом деле, имеем

или . Отсюда по правилам умножения вектора на число и сложения векторов (примерIII.2) получим

Следовательно, ,,▼.

Пусть – произвольный вектор пространства, тогда исходя из аксиом линейного пространства получаем

Аналогичные рассуждения справедливы для пространства с базисом, . Из основной теоремы следует, что в произвольном конечномерном линейном пространствеL любой элемент может быть представлен как линейная комбинация его базисных элементов,, …,, то есть

Причем такое разложение единственно. В самом деле, пусть имеем

тогда после вычитания получаем

Отсюда, в силу независимости элементов ,,

То есть ▼.

Теорема III .2 (о дополнении до базиса). Пусть – конечномерное линейное пространство и– некоторое множество линейно независимых элементов. Если они не образуют базис, то вможно найти такие элементы,, …,, что множество элементовобразуют базис в. То есть, каждое линейно независимое множество элементов линейного пространства может быть дополнено до базиса.

Доказательство . Поскольку пространство – конечномерное, то у него есть базис, состоящий, например, изn элементов, пусть это элементы . Рассмотрим множество элементов.

Применим основную теорему. В порядке следования элементов рассмотрим множество A . Оно заведомо линейно зависимое, поскольку любой из элементов есть линейная комбинация,,. Так как элементы,, …,– линейно независимые, то добавляя к нему последовательно элементыдо тех пор, пока не появится первый элемент, например,, такой, что он будет линейной комбинацией предыдущих векторов этого множества, то есть. Выбрасывая этот элемент из множестваA , получим . Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока в этом множестве не останетсяn линейно независимых элементов, среди которых все элементы ,, …,иn -m из элементов . Полученное множество и будет базисом ▼.

Пример III .10. Доказать, что векторы ,,иобразуют линейно зависимое множество, а любые три из них линейно независимы.

Покажем, что существуют не все равные нулю числа , для которых

В самом деле, при ,имеем

Линейная зависимость доказана. Покажем, что тройка векторов, например ,,, образует базис. Составим равенство

Выполняя действия с векторами, получим

Приравнивая соответствующие координаты в правой и левой частях последнего равенства, получим систему уравнений ,,, решая ее, получим.

Аналогичное рассуждение справедливо и для оставшихся троек векторов ,,или,,.

Теорема III .3 (о размерности пространства). Все базисы конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового числа базисных элементов.

Доказательство . Пусть даны два множества , где;,. Каждому из них припишем одно из двух свойств, определяющих базис: 1) через элементы множестваA линейно выражаются любые элементы из L , 2) элементы множества B представляют линейно независимую совокупность, но не обязательно всю из L . Будем считать, что элементы A и B упорядочены.

Рассмотрим множество A и применим к его элементам m раз метод из основной теоремы. Так как элементы из B линейно независимы, то получим, по-прежнему, линейно зависимое множество

В самом деле, если бы , то получилось бы линейно независимое множество, а оставшиесяn элементов множества B линейно выражались бы через них, что невозможно, значит . Но этого тоже быть не может, так как по построению множество (III.4) обладает свойством базиса множества A . Поскольку пространство L конечномерное, то остается только , то есть два разных базиса пространстваL состоят из одинакового числа элементов ▼.

Следствие. В любом n -мерном линейном пространстве () можно найти бесконечно много базисов.

Доказательство следует из правила умножения элементов линейного (векторного) пространства на число.

Определение. Размерностью линейного пространства L называется число элементов, составляющих его базис.

Из определения следует, что пустое множество элементов – тривиальное линейное пространство – имеет размерность 0, что, как следует заметить, оправдывает терминологию линейной зависимости и позволяет заявить: n -мерное пространство имеет размерностьn , .

Таким образом, подводя итоги сказанному, получаем, что каждое множество из n +1 элемента n -мерного линейного пространства линейно зависимо; множество из n элементов линейного пространства является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимое (или каждый элемент пространства является линейной комбинацией элементов его базиса); в любом линейном пространстве число базисов бесконечно.

Пример III .11 (теорема Кронекера – Капелли).

Пусть имеем систему линейных алгебраических уравнений

где A – матрица коэффициентов системы,  расширенная матрица коэффициентов системы

Где , (III.6)

эта запись эквивалентна системе уравнений (III.5).

Теорема III .4 (Кронекера – Капелли). Система линейных алгебраических уравнений (III.5) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу матрицы , то есть.

Доказательство . Необходимость . Пусть система (III.5) совместна, тогда у нее существует решение: ,,. Учитывая (III.6), , но в этом случаеесть линейная комбинация векторов,, …,. Следовательно, через множество векторов,,, …,можно выразить любой вектор из. Это означает, что.

Достаточность . Пусть . Выберем любой базис из,, …,, тогдалинейно выражается через базис (это могут быть как все векторы, так и их часть) и тем самым, через все векторы,. Это означает, что система уравнений совместна ▼.

Рассмотрим n -мерное линейное пространство L . Каждый вектор можно представить линейной комбинацией , где множество,состоит из базисных векторов. Перепишем линейную комбинацию в видеи установим взаимнооднозначное соответствие между элементами и их координатами

Это означает, что между n -мерным линейным векторным пространством векторов надn -мерным полем действительных чисел установлено взаимно-однозначное соответствие.

Определение. Два линейных пространства инад одним и тем же скалярным полемизоморфны , если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие f , так чтобы

то есть под изоморфизмом понимается взаимнооднозначное соответствие, сохраняющее все линейные отношения. Ясно, что изоморфные пространства имеют одинаковую размерность.

Из примера и определения изоморфизма следует, что с точки зрения изучения проблем линейности изоморфные пространства одинаковы, поэтому формально вместо n -мерного линейного пространства L над полем можно изучать только поле.

Чтобы проверить является ли система векторов линейно-зависимой, необходимо составить линейную комбинацию этих векторов , и проверить, может ли она быть рана нулю, если хот один коэффициент равен нулю.

Случай 1. Система векторов заданна векторами

Составляем линейную комбинацию

Мы получили однородную систему уравнений. Если она имеет ненулевое решение, то определитель должен быть равен нулю. Составим определитель и найдём его значение.

Определитель равен нулю, следовательно, вектора линейно зависимы.

Случай 2. Система векторов заданна аналитическими функциями:

a) , если тождество верно, значит система линейно зависима.

Составим линейную комбинацию.

Необходимо проверить, существуют ли такие a, b, c (хотя бы одна из которых не равна нулю) при которых данное выражение равно нулю.

Запишем гиперболические функции

тогда линейная комбинация векторов примет вид:

Откуда , возьмём, например,, тогда линейная комбинацияравна нулю, следовательно, система линейно зависима.

Ответ: система линейно зависима.

b) , составим линейную комбинацию

Линейная комбинация векторов, должна быть равна нулю для любых значений x.

Проверим для частных случаев.

Линейная комбинация векторов равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.

Следовательно, система линейно не зависима.

Ответ: система линейно не зависима.

5.3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.

Сформируем расширенную матрицу и приведём её к виду трапеции методом Гаусса.

Чтоб получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения:

Получим остальные координаты

5.4. Найти координаты вектора X в базисе, если он задан в базисе.

Нахождение координат вектора в новом базисе сводится к решению системы уравнений

Способ 1. Нахождение при помощи матрицы перехода

Составим матрицу перехода

Найдём вектор в новом базисе по формуле

Найдём обратную матрицу и выполним умножение

Способ 2. Нахождение путем составления системы уравнений.

Составим базисные вектора из коэффициентов базиса

Нахождение вектора в новом базисе имеет вид

Где d это заданный вектор x .

Полученное уравнение можно решить любым способом, ответ будет аналогичным.

Ответ: вектор в новом базисе .

5.5. Пусть x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) . Являются ли линейными следующие преобразования.

Составим матрицы линейных операторов из коэффициентов заданных векторов.

Проверим свойство линейных операций для каждой матрицы линейного оператора.

Левую часть найдём умножением матрицы А на вектор

Правую часть найдем, умножив заданный вектор на скаляр .

Мы видим, что значит, преобразование не является линейным.

Проверим другие вектора.

Преобразование не является линейным.

Преобразование является линейным.

Ответ: Ах – не линейное преобразование, Вх – не линейное, Сх – линейное.

Примечание. Можно выполнить данное задание гораздо проще, внимательно посмотрев на заданные вектора. В Ах мы видим, что есть слагаемые которые не содержат элементы х , что не могло быть получено в результате линейной операции. В Вх есть элемент х в третьей степени, что также не могло быть получено умножением на вектор х .

5.6. Дано x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Ax = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Выполнить заданную операцию: ( A ( B – A )) x .

Выпишем матрицы линейных операторов.

Выполним операцию над матрицами

При умножении полученной матрицы на Х, получим

Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.

Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.

Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов

Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.

Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.

Базис, координаты

Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .

Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.

Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.

Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .

Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.

Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .

Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .

Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.

Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:

Это соотношение является разложением вектора из по базису с координатами .

Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов

Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.

Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .

Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .

Пусть - поле скаляров и F - его основное множество. Пусть - -мерное арифметическое пространство над - произвольная система векторов пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейной комбинацией системы векторов называется сумма вида где . Скаляры называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один ее коэффициент отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех линейных комбинаций векторов системы называется линейной оболочкой этой системы и обозначается через . Линейной оболочкой пустой системы считается множество, состоящее из нулевого вектора.

Итак, по определению,

Легко видеть, что линейная оболочка данной системы векторов замкнута относительно операций сложения векторов, вычитания векторов и умножений векторов на скаляры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно независимой, если для любых скаляров из равенства следуют равенства . Пустая система векторов

считается линейно независимой.

Другими словами, конечная система векторов линейно независима в том и только в том случае, когда всякая нетривиальная линейная комбинация векторов системы не равна нулевому вектору.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Другими словами, конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору.

Система векторов

называется системой единичных векторов векторного пространства Эта система векторов линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства следует равенство и, значит, равенства

Рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.

СВОЙСТВО 1.1. Система векторов, содержащая нуле вой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Если в системе векторов один из векторов, например вектор нулевой, то линейная комбинация векторов системы, все коэффициенты которой нулевые, за исключением коэффициента при равна нулевому вектору. Следовательно, такая система векторов линейно зависима.

СВОЙСТВО 1.2. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.

Доказательство. Пусть - линейно зависимая подсистема системы причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда Следовательно, система векторов линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

СВОЙСТВО 1.3. Система векторов

в которой линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство. Пусть система (1) линейно зависима и Тогда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Обозначим через k наибольшее из чисел удовлетворяющее условию Тогда равенство (2) можно записать в виде

Отметим, что ибо в противном случае следовательно, поскольку . Из (3) следует равенство

Предположим теперь, что вектор есть линейная комбинация предшествующих ему векторов, т. е. Тогда , т. е. подсистема системы (1) линейно зависима. Следовательно, по свойству 1.2, линейно зависима и исходная система (1).

СВОЙСТВО 1.4. Если система векторов линейно независима, а система векторов

линейно зависима, то вектор v линейно выражается через векторы

и притом единственным образом.

Доказательство. По условию система (2) линейно зависима, т. е. существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

При этом так как при что противоречит линейной независимости системы (1). Из (3) следует равенство

В силу линейной независимости системы (1) отсюда следует, что

СВОЙСТВО 1.5. Если и

Доказательство. Условие означает что найдутся такие скаляры что

Условие означает, что существуют такие скаляры что

В силу (1) и (2) получаем

ТЕОРЕМА 1.2. Если

то система векторов линейно зависима. Доказательство (проводится индукцией по ).