Как найти целое зная часть. Нахождение части от целого и целого по его части

§ 20. Отыскание части от целого и целого но его части - Учебник по Математикe 5 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

Бывает, что нам нужно найти какую-то часть от числа, например, с определенного числа картофеля почистить только третью его часть. Или наоборот, когда нам говорят, что только четверть класса пришла на экскурсию, нам нужно узнать какое же общее количество учеников класса. Зная целое, можно найти от него какую-то заданную часть, точно так же, зная часть, можно определить какое же было целое. Об этом сегодня вы и узнаете из этого параграфа учебника.
Определение части от целого, и наоборот, напрямую связано с простыми дробями, которые вы уже изучали. Действия в таком случае происходят не с двумя числами, которые обозначаются дробью, а с одной дробью и одним целым числом. Например, найти 1/2 от 16 будет значить умножить 16 на 1/2, в этом случае знаменатель числа 16 = 1 и выражение можно записать как: 1/2 16/1 = 16/2 = 8.
Для нахождения целого числа по его части, используем обратный способ, и умножаем известное число на перевернутую дробь (то есть, делим на нее). По другому это можно объяснить так: для того, чтобы найти целое из его части, нужно то известное число, которое соответствует его части, разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби, которая обозначает эту часть (что и является действием деления дроби, или умножения на перевернутую дробь – вы можете запомнить самый удобный для вас способ в решении таких задач). Таким образом, чтобы найти целое число, 3/4 которого равны 12, нужно 12: 3/4 = 12 4/3 = 48/3 = 16. Или способ №2, который убирает лишние математические действия – число х, 2/5 от которого равны 20: х = 20: 2 5 = 50.
Проверьте себя при выполнении заданий из учебника и не забудьте просмотреть материал, чтобы лучше его освоить и запомнить!

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

I. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЦЕЛОГО

Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

ПРИМЕР: В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Найди, сколько учеников отсутствовало?
РЕШЕНИЕ 1: Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
12,5% = 0,125
32 · 0,125 = 4
РЕШЕНИЕ 2: Пусть х учеников отсутствовали, что составляет 12,5%. Если 32 ученика –
общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%

ОТВЕТ: В классе отсутствовало 4 ученика.

II. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ

Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

ПРИМЕР: Коля истратил в парке аттракционов 120 крон, что составило75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
РЕШЕНИЕ 1: В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение
этой части.
75% = 0,75
120: 0,75 = 160

РЕШЕНИЕ 2: Пусть х крон было у Коли, что составляет целое, т.е 100%. Если он потратил 120 крон, что составило 75%, то
120 крон– 75 %
х крон – 100 %

ОТВЕТ: У Коли было 160 крон.

III. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ

ТИПОВОЙ ВОПРОС:
СКОЛЬКО % СОСТАВЛЯЕТ ОДНА ВЕЛИЧИНА ОТ ДРУГОЙ?

ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:

РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче длина прямоугольника 32м составляет 100%, тогда ширина 20м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – х %
32 метра – 100 %

ОТВЕТ: Ширина составляет от длины 62,5%.

NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:

РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – 100 %
32 метра – х %

ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.

IV. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ

ТИПОВОЙ ВОПРОС:
НА СКОЛЬКО % ИЗМЕНИЛАСЬ (УВЕЛИЧИЛАСЬ, УМЕНЬШИЛАСЬ) ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА?

Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти на сколько изменилась величина (без %)
2) разделить полученную величину из п.1) на величину, являющуюся основой для сравнения
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%)

ПРИМЕР: Цена платья снизилась с 1250 крон до 1000 крон. Найди на сколько процентов снизилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:


2) Основа для сравнения здесь 1250 крон (т.е. то, что было изначально)
3)

ОТВЕТ: Цена платья уменьшилась на 20%.

NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

ПРИМЕР: Цена платья повысилась с 1000 крон до 1250 крон. Найди на сколько процентов повысилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:

1) 1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1000 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
Решение задачи одним действием:

РЕШЕНИЕ 2:
1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
В этой задаче первоначальная цена 1000 крон 100%, тогда изменение цены 250 крон составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 крон – 100 %
250 крон – х %

х =
ОТВЕТ: Цена платья увеличилась на 25%.

V. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (ЧИСЛА)

ПРИМЕР: Число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. Найди на сколько процентов изменилось число?

Самая распространенная ошибка: число увеличилось на 5 %.

РЕШЕНИЕ 1:
1) Хотя исходное число не дано, для простоты решения можно принять его за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85%, или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е
85 – 100%
а новое число х – 120% (т.к. увеличилось на 20%)

х =
4)Таким образом в результате изменений число 100 (первоначальное) изменилось и стало 102, а это означает, что первоначальное число увеличилось на 2%

РЕШЕНИЕ 2:
1) Пусть исходное число Х
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85% от Х, т.е. 0,85Х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е
0,85Х – 100%
а новое число? – 120% (т.к. увеличилось на 20%)

? =
4) Таким образом в результате изменений число Х (первоначальное), является основой для сравнения, а число 1,02Х(полученное), (см. IV тип решения задач), тогда

ОТВЕТ: Число увеличилось на 2%.

Тема урока: Нахождение целого по его части.

Цель : развивать навык устного счета, развивать логическое мышление,

развивать умение работать самостоятельно и в группе,

воспитывать интерес к математике, воспитывать чувство дружбы и

взаимопонимания, воспитывать любовь к родному краю.

Ход урока.

1.Организационный момент. (Слайд № 1, 2)

Долгожданный дан звонок

Начинается урок.

2.Устный счет.

Подумаем!

а) Люда и Надя купили в буфете по булочке, а Лена забыла взять с собой деньги. Тогда Люда и Надя дали Лене по 1/2 булки. Кому больше досталось булки? (Лене досталась целая булка, а Люде и Наде по половине) (Слайд № 3)

б) У ежика 3 целых яблока, 10 половинок, 8 четвертинок. Сколько всего яблок у ежика? (У ежика 10 яблок) (Слайд № 4)

в) По вертикальному столбу высотой 6 м движется улитка. За день она поднимается на 4 м, а за ночь опускается на 3 м. сколько дней потребуется улитке, чтобы добраться до вершины? (3 дня) (Слайд № 5)

г) Сколько сантиметров:

1/4 м, 3/5 м, 6/10м. (25 см, 60 см, 60 см)

Сколько метров:

1/5 км, 4/5 км,7/10 км. (200м, 800м, 700 м) (Слайд № 6)

д) Какую часть отрезка АВ составляет отрезок СД. Найдите длину отрезка АВ, если отрезок СД – 5см (А

(Слайд № 7)

3.Работа с новой темой.

а) 1/8 отрезка АВ – 8 мм. Начертите отрезок АВ.

8 * 8 =64 мм = 6см 4мм (Слайд № 8)

д) Торт стоит 160 рублей. Его разрезали на 4 части. Сколько будет стоить 1/4 часть. Вы и два ваших друга пришли в кафе. Сколько денег вы заплатите, если каждый съест один кусок торта?

Решение (160:4=40(р.) стоит 1 кусок, 40*3=120 (р.) надо заплатить (Слайд №9, 10)

Физминутка (Слайд № 11)

в) М.д. 1\2 часа, 1/3часа, 1/4 часа, 1/10 часа. (30мин, 20мин, 15 мин, 6мин) (Слайд № 12)

г) Решение задачи

Протяженность реки Дон по Воронежской области составляет 530 км. Это составляет 1/3 часть всей длины реки Дон. Найдите длину реки Дон.

Решение: (530*3=1590 (км) длина реки Дон) (Слайд № 13, 14)

Береза живет 240 лет. Это составляет 1/5 часть жизни голубой ели. Сколько лет живет голубая ель.

240*5=1200(л) ж - живет голубая ель (Слайд № 15, 16, 17 )

Физминутка (Слайд № 18)

4. Закрепление изученного.

Задача № 227. (Слайд № 19)

Купили 5 мотков электрического провода, по 56 метров в каждом. Израсходовали 2/7 части всего провода. Сколько метров провода осталось?

Решение: (56*5=280м – всего провода, 280:7*2=80м – израсходовали, 280-80= 200(м) – провода осталось)

5.Повторение пройденного

а) Задача № 231. (самостоятельная работа) (Слайд № 20)

Лимоны раскладывали в корзины, по 100 штук в каждую. Сколько было лимонов, если заполнили 15 корзин и еще 30 лимонов осталось?

Решение: (100*15+30=1530 (л)- было)

б) Деление с остатком. № 229 (проверка) (Слайд № 21)

76:8=9 (ост.4) 8*9+4=76,

54:11=4 (ост. 10) 4*11+10=54

612:7=87 (ост.3) 87 *7+3=612

793:6= 132 (ост 1) 132*6+1=793

939:4 =234 (ост.3) 234 *4+3=939

в) Задача № 228. (Слайд № 22)

За 3 часа работы бульдозер разровнял 234 квадратных метра дороги. Сколько квадратных метров дороги разровняет бульдозер за 10 часов, если будет работать с такой же производительностью?

Решение: (234:3=78- за 1 час, 78* 10=780- за 10 часов)

6. Групповая работа по рядам

Решение задачи (по карточкам)

6 конфет составляет 1/7 всех конфет. Сколько всего конфет?

8 конфет составляет 1/3 всех конфет. Сколько всего конфет?

3 конфеты составляют 1/8 всех конфет. Сколько всего конфет

Все конфеты разделите всем ученикам нашего класса. Сколько конфет получит каждый?

Решение (6*7=42, 8*3=24, 3*8 =24, 42+24+24=90, 90:18=5)

7. Итог урока (Слайд № 23)

Каким действием находим целое по его части? (умножение)

Каким действием находим часть целого числа (деление)

8.Домашнее задание: стр. 48. № 229, 228. (Слайд № 24)

Урок подготовлен учителем начальных классов МОУ СОШ № 21

Тема урока: «Нахождение части целого и целого по его части».

Цель урока:

1. Научиться находить дробь от числа и число по его дроби.
2. Обобщить понятие обыкновенной дроби и действий с обыкновенными дробями.

Оборудование: Мультимедийный проектор, презентация Power Point (Приложение ).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учащиеся рассаживаются по группам (5-6 человек). Можно предложить провести диагностику своего настроения на этапах урока. Каждому ученику дается карточка, на которой он выделяет «характер» его настроения.

II. Актуализация знаний

Мы уже знакомы с понятием обыкновенной дроби.
– Что показывает числитель дроби? (На сколько частей разделили целое).
– Что показывает знаменатель дроби? (Сколько частей взяли).

– Рассмотрите рисунок и ответьте на вопросы:

Учащимся предлагается воспроизвести его.

III. Устный счет. (Лучший счетчик)

Каждой команде на экране предлагается задание. Команды поочередно выполняют задание.

1-я команда

2-я команда

3-я команда

4-я команда

Подводится итог – какая команда является лучшим счетчиком.

IV. Диктант

Диктант проводится с последующей самопроверкой. Возможно выполнение под копирку, один экземпляр учащиеся сдают учителю на проверку.

1. Вместо х вставить пропущенное число:

2. Сократить дробь:

3. Расположить дроби в порядке убывания:

4. Выполнить действия:

5. На островах Тихого океана живут черепахи – гиганты. Они такой величины, что дети могут кататься, сидя у них на панцире. Узнать название самой крупной в мире черепахи поможет нам следующее задание.

После сдачи решения, учащиеся проверяют ответы.

V. Новый материал

Учитель предлагает решить задачи (на их обдумывание дается минут 5 – 7)

1. На ветке сидело 12 птиц. Затем из них улетело. Сколько птиц улетело?

2. В Вашем классе по математике за третью четверть получили отметку «5» 6 человек. Это составляет от числа всех учащихся в классе. Сколько учащихся в классе?

Затем сверяется решение, которое показывается на слайде.

1 способ: 12: 3 2 = 8 (птиц)

2 способ: 12 = 8 (птиц)

2 задача. 6: = 6 = 34 (чел.)

Учитель обращает внимание на то, что можно выделить два типа задач:

1. Чтобы найти часть от числа , выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь.
2. Чтобы найти число по его част и, выраженной дробью, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Учащимся предлагается заучить это правило прямо в классе и в парах пересказать друг другу.

Учитель акцентирует внимание на следующее: для тех, кто затрудняется в определении типа задачи, советую обращать внимание на предлоги что , это . Эти предлоги встречаются в задачах на нахождение числа по его дроби .

VI. Закрепление нового материала

На слайде условие шести задач и учащимся предлагается рассортировать их в две колонки по типам.

1. Магазин принял для продажи 156 кг рыбы. 1/3 всей рыбы составил карп. Сколько кг карпа получил магазин?
2. Провели 18 опытов, это составило 2/9 всей серии опытов. Сколько опытов надо провести?
3. Учитель проверил 20 тетрадей. Это составило 4/5 всех тетрадей. Сколько всего тетрадей надо проверить учителю?
4. Из 72 пятиклассников 3/ 8 занимаются легкой атлетикой. Сколько учащихся занимаются этим видом спорта?
5. Для выставки отобрали 30 картин. Это составило 2/3 имеющихся в музее картин. Сколько картин взято на выставку?
6. От веревки, длиной 18 м отрезали 3/4 ее длины. Сколько метров веревки осталось?

VII. Итог урока

Учитель возвращает учащихся к цели урока, предлагает выделить два типа задач на дроби и алгоритмы их решения. Собираются листочки с диагностикой настроения.

VIII. Домашнее задание: П. 9.6, № 1050, 1058, 1060.

Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти половину от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:

• Обозначим целое за единицу, тогда половина от единицы - это 1/2. Значит нам надо найти 1/2 от числа a.
• Чтобы найти 1/2 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/2 = a/2. То есть половина от числа a - это a/2.
• При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.

Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, четверть от числа a, то надо a * 1/4 = a/4. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8. Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
Рассмотрим пример.

Как найти третью часть от числа 75

Нам дано целое - число 75. Нам необходимо найти от него третью часть, иначе - необходимо найти 1/3. Выполним действие умножение целого на часть: 75 * 1/3 = 25. Значит третья часть от числа 75 - это число 25. Можно сказать и так: число 25 меньше числа 75 в три раза. Или: число 75 больше числа 25 в три раза.