Доказательство от обратного. Что такое метод доказательства «от противного»

Часто при доказательстве теорем пользуются методом доказательства от противного . Суть этого метода помогает понять загадка. Попробуйте её разгадать.

Представьте себе страну, в которой приговорённому к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумаг: на одной написано «смерть», на другой - «жизнь». Враги оклеветали одного жителя этой страны. И, чтобы у него не осталось никаких шансов спастись, сделали так, что на обороте обоих бумажек, из которых он должен выбрать одну, было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осуждённому. Он попросил никому об этом не рассказывать. Вытащил одну из бумажек. И остался жить. Как ему это удалось?

Ответ. Осуждённый проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему выпал, судьи заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что ему повезло, он вытащил бумажку, на которой было написано: «жизнь».

Как в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве возможны только два случая: можно… или нельзя… Если удастся убедится, что первое невозможно (на бумажке, которая досталась судьям, написано: «смерть»), то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность (на второй бумажке написано: «жизнь»).

Доказательство методом «от противного» осуществляется так.

1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы. Вариантов может быть два (например, перпендикулярны ли не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол: острый, прямой или тупой).

2) Доказывают. Что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые нам необходимо отбросит. (Например, если надо доказать, что прямые перпендикулярные, смотрим, что получается, если рассматривать не перпендикулярные прямые. Как правило, удаётся установить, что в этом случае какой-либо из выводов противоречит тому, что дано в условии, а потому невозможен.

3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он верный.

Решим задачу, используя доказательство от противного.

Дано: прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.

Используя метод доказательства «от противного», доказать, что а ll b.

Доказательство.

Возможны только два случая:

1) прямые а и b параллельны (жизнь);

2) прямые а и b не параллельны (смерть).

Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:

По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:

Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок можно начать с рассказа учителя.

Ващенко Н.М., на уроке

В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдет сюда». Почему? Да потому, что геометрия учит доказывать. А речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто пользуются способом доказательства, который называется "от противного".

Приведем примеры таких доказательств.

Пример 1. Разведчики получили задание: выяснить, находится ли в данном селе танковая колонна противника. Командир разведки докладывает: если бы в селе была танковая колонна, го тогда бы были следы гусениц, а их мы не обнаружили.

Схема рассуждений. Требуется доказать: нет колонны. Предположим, есть колонна. Тогда должны быть следы. Противоречие - следов нет. Вывод: предположение неверно, значит, танковой колонны нет.

Пример 2. Врач после осмотра больного ребенка говорит:

«У ребенка нет кори. Если бы у него была корь, то тогда была бы сыпь на теле, но сыпи нет».

Рассуждения врача тоже выполнялись по указанной выше схеме.

Задается вопрос: «В чем же сущность способа доказательства от противного?»- и вывешивается таблица (табл. 5).

Способом от противного можно решить уже известные до этого задачи.

1. Дано: а||b, прямые с и а пересекаются. Докажите: прямые с и b пересекаются.

Доказательство.

1) Предположим, что b||с.

2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.

Вывод : значит, наше предположение неверно, а верно то, что и требовалось доказать, т. е. что прямые бис пересекаются.

2. Дано: A, В, С - точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. Докажите:

Доказательство.

1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В.

2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА

3) Это противоречит условию: АВ = АС + СВ, так как АВ = 5 см, АС+ С5 = 9 см.

Вывод: точка С не лежит между точками А и В.

3. Дано: АВ - полупрямая, С АВ, АС < АВ. Докажите:

Доказательство.

1) Предположим, что точка В лежит между точками А и С.

2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, т. е. AB

3) Это противоречит условию задачи: АС<АВ.

Вывод: точка В не лежит между точками А и С.

Решение задач оформляется в тетрадях. Для усвоения учащимися сущности способа доказательства от противного, а также с целью экономии времени при решении задач можно использовать карточки-подсказки, которые сделаны из плотной бумаги и вставлены в полиэтиленовые мешочки. Ученик должен на полиэтиленовой пленке заполнить пропущенные места. Записи на пленке легко стираются, и поэтому карточки можно использовать неоднократно.

Карточка имеет вид:

Предположим противоположное тому, что требуется доказать, т.е.

Из предположения следует, что (на основании ……

Получаем противоречие с.

Значит, наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать, т.е.

Задание на дом:

п. «Доказательство от противного» § 2 до слов: «Поясним это...».

1. Докажите, что если MN = 8 м, МК = 5 м, NK- 10 м, то точки М, N и К не лежат на одной прямой.

2. Докажите, что если <(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Докажите теорему 1.1 способом от противного.

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы.

Теорема обратная данной – это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Например: Теорема : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Доказательство методом от противного заключается в следующем:

1) Делается предположение противоположное тому, что надо доказать.

2) Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом.

3) На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны .

Дано :

DАВС – пр/уг

ВС=В 1 С 1

Доказать :

DАВС = DА 1 В 1 С 1

Доказательство :

1. Приложим к DАВС к DА 1 В 1 С 1 , так чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой АВ.

2. Так как АВ= А 1 В 1 Þ они совпадут.

3. ÐСА 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐСА 1 С 1 – развернутый и Þточки С, А 1 и С 1 – лежат на одной прямой.

4. Рассмотрим DСВС 1 – р/б (ВС= В 1 С 1 по условию)Þ ÐС = ÐС 1 (по свойству)

5. Таким образом, DАВС = DА 1 В 1 С 1 – по гипотенузе и острому углу. (ч.т.д.)

Билет №9.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.

Перпендикулярные прямые – это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.(показать на рисунке)

Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)

Теоремы :

1)Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.

2)Две прямые перпендикулярные к одной и той же прямой не пересекаются.

Признак равнобедренного треугольника.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Дано :

ÐА = ∠С

Доказать :

DАВС – р/б

Доказательство:

1. Мысленно скопируем DАВС и перевернем копию – получим DСВА.

2. Наложим DСВА на DАВС, так чтобы вершина С копии совместилась с вершиной А DАВС.

3. Так как ÐА = ÐС (по условию) Þ ÐА копии и ÐС треугольника при наложении совпадут, так же ÐС копии и ÐА треугольника при наложении совпадут.

4. Отрезок СВ копии наложится на луч АВ треугольника и отрезок АВ копии наложится на луч СВ треугольника.

5. Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒

т. В 1 совпадет с точкой В и ⇒ АВ совместится с СВ ⇒ АВ=СВ

6. Из того, что АВ=СВ ⇒ по определению ΔАВС - равнобедренный(ч.т.д.)

Билет №10.

Равнобедренный треугольник.

Треугольник , у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием . (показать на рисунке)

Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)

Признак равнобедренного треугольника : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)

Теорема о высоте равнобедренного треугольника : Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)

Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника :

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)

2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)

Ложен, мы тем самым обосновываем истинность противоположного ему положения - тезиса. Напр., врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т.д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа». Доказательство некоторого положения от противного - это истинности данного положения, опирающееся на демонстрацию ложности «противного» (противоречащего) положения и исключенного третьего.
Общая Д. от п. описывается следующим образом. Нужно доказать некоторое А. В процессе доказательства сначала формулируется противоположное ему высказывание не-А и предполагается, что истинно: допустим, что А ложно, тогда должно быть истинно не-А. Затем из этого якобы истинного антитезиса выводятся следствия - до тех пор, пока либо не получится , либо такое , которое явным образом противоречит известному истинному высказыванию. Если показано, что не-А ложно, то тем самым обоснована истинность тезиса А (см. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

(лат. reduc-tio ad absurdum) , вид доказательства, при кром «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через противоречащего ему суждения - антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с к.-л. заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует след. схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А - ложно. Другая, более общая Д. от п. - это путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, вывели , следовательно - не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением. В последнем случае Д. от п. опирается на и закон двойного отрицания. Помимо указанных выше, существует «парадоксальная» форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Лит.: Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

Смотреть что такое "ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО" в других словарях:

- (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь

Один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь

Доказательство от противного - (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО - (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь

См.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

- (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия

Метод от противного

Апагогия - логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в необходимо из него вытекающих следствиях мы открываем противоречие .

Поэтому апогогическое доказательство является доказательством косвенным: здесь доказывающий обращается сперва к противоположному положению, чтобы показать его несостоятельность, и затем по закону исключения третьего делает вывод о справедливости того, что требовалось доказать. Этот род доказательства называется также приведением к нелепости. Существенною его принадлежностью является довод, что третье не существует, т. е., что кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается. Поэтому косвенное доказательство исходит из факта, отрицающее положение, справедливость которого требуется доказать.

Примеры

Смотри также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Метод от противного" в других словарях:

В математике, метод бесконечного спуска это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого… … Википедия

Метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в. Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных… … Большая советская энциклопедия

Метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Назв. метод исчерпывания введено в 17 в. Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для… … Математическая энциклопедия

- ’БЫТИЕ И ВРЕМЯ’ (‘Sein und Zeit’, 1927) основная работа Хайдеггера. На создание ‘Б.иВ.’, как традиционно полагается, повлияли две книги: работа Брентано ‘Значение бытия согласно Аристотелю’ и ‘Логические исследования’ Гуссерля. Первая из них… … История Философии: Энциклопедия

- (от позднелат. intuitio, от лат. intueor пристально смотрю) направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно содержательная интуиция. Вся математика … Философская энциклопедия

Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера

Термин, ранее объединявший различные разделы математич. анализа, связанные с понятием бесконечно малой функции. Хотя метод бесконечно малых (в той или иной форме) с успехом применялся учеными Древней Греции и средневековой Европы для решения… … Математическая энциклопедия

- (от лат. absurdus нелепый, глупый) нелепость, противоречие. В логике под А. обычно понимается противоречивое выражение. В таком выражении что то утверждается и отрицается одновременно, как, напр., в высказывании «Тщеславие существует и тщеславия… … Философская энциклопедия