Нод целых чисел. Нод и нок двух чисел, алгоритм евклида

Сейчас и в дальнейшем мы будем подразумевать, что хотя бы одно из данных чисел отлично от нуля. Если все данные числа равны нулю, то их общим делителем является любое целое число, а так как целых чисел бесконечно много, то мы не можем говорить о наибольшем из них. Следовательно, нельзя говорить о наибольшем общем делителе чисел, каждое из которых равно нулю.

Теперь мы можем дать определение наибольшего общего делителя двух чисел.

Определение.

Наибольший общий делитель двух целых чисел – это наибольшее целое число, делящее два данных целых числа.

Для краткой записи наибольшего общего делителя часто используют аббревиатуру НОД – Наибольший Общий Делитель. Также наибольший общий делитель двух чисел a и b часто обозначают как НОД(a, b) .

Приведем пример наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Наибольший общий делитель чисел 6 и −15 равен 3 . Обоснуем это. Запишем все делители числа шесть: ±6 , ±3 , ±1 , а делителями числа −15 являются числа ±15 , ±5 , ±3 и ±1 . Теперь можно найти все общие делители чисел 6 и −15 , это числа −3 , −1 , 1 и 3 . Так как −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Определение наибольшего общего делителя трех и большего количества целых чисел аналогично определению НОД двух чисел.

Определение.

Наибольший общий делитель трех и большего количества целых чисел – это наибольшее целое число, делящее одновременно все данные числа.

Наибольший общий делитель n целых чисел a 1 , a 2 , …, a n мы будем обозначать как НОД(a 1 , a 2 , …, a n) . Если найдено значение b наибольшего общего делителя этих чисел, то можно записать НОД(a 1 , a 2 , …, a n)=b .

В качестве примера приведем НОД четырех целых чисел −8 , 52 , 16 и −12 , он равен 4 , то есть, НОД(−8, 52, 16, −12)=4 . Это можно проверить, записав все делители данных чисел, выбрав из них общие и определив наибольший общий делитель.

Отметим, что наибольший общий делитель целых чисел может быть равен одному из этих чисел. Это утверждение справедливо в том случае, если все данные числа делятся на одно из них (доказательство приведено в следующем пункте этой статьи). Например, НОД(15, 60, −45)=15 . Это действительно так, так как 15 делит и число 15 , и число 60 , и число −45 , и не существует общего делителя чисел 15 , 60 и −45 , который превосходит 15 .

Особый интерес представляют так называемые взаимно простые числа , - такие целые числа, наибольший общий делитель которых равен единице.

Свойства наибольшего общего делителя, алгоритм Евклида

Наибольший общий делитель обладает рядом характерных результатов, иными словами, рядом свойств. Сейчас мы перечислим основные свойства наибольшего общего делителя (НОД) , формулировать их мы будем в виде теорем и сразу приводить доказательства.

Все свойства наибольшего общего делителя мы будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать лишь положительные делители этих чисел.

Наибольший общий делитель чисел a и b равен наибольшему общему делителю чисел b и a , то есть, НОД(a, b)=НОД(a, b) .

Это свойство НОД напрямую следует из определения наибольшего общего делителя.

Если a делится на b , то множество общих делителей чисел a и b совпадает со множеством делителей числа b , в частности, НОД(a, b)=b .

Доказательство.

Любой общий делитель чисел a и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b . С другой стороны, так как a кратно b , то любой делитель числа b является делителем и числа a в силу того, что делимость обладает свойством транзитивности, следовательно, любой делитель числа b является общим делителем чисел a и b . Этим доказано, что если a делится на b , то совокупность делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b . А так как наибольшим делителем числа b является само число b , то наибольший общий делитель чисел a и b также равен b , то есть, НОД(a, b)=b .

В частности, если числа a и b равны, то НОД(a, b)=НОД(a, a)=НОД(b, b)=a=b . К примеру, НОД(132, 132)=132 .

Доказанное свойство наибольшего делителя позволяет нам находить НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число. Например, НОД(8, 24)=8 , так как 24 кратно восьми.

Если a=b·q+c , где a , b , c и q – целые числа, то множество общих делителей чисел a и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и c , в частности, НОД(a, b)=НОД(b, c) .

Обоснуем это свойство НОД.

Так как имеет место равенство a=b·q+c , то всякий общий делитель чисел a и b делит также и c (это следует из свойств делимости). По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и c делит a . Поэтому совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c . В частности, должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, то есть, должно быть справедливо следующее равенство НОД(a, b)=НОД(b, c) .

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, которая представляет собой алгоритм Евклида . Алгоритм Евклида позволяет находить НОД двух чисел (смотрите нахождение НОД по алгоритму Евклида). Более того алгоритм Евклида позволит нам доказать приведенные ниже свойства наибольшего общего делителя.

Прежде чем дать формулировку теоремы, рекомендуем освежить в памяти теорему из раздела теории , которая утверждает, что делимое a может быть представлено в виде b·q+r , где b – делитель, q – некоторое целое число, называемое неполным частным, а r – целое число, удовлетворяющее условию , называемое остатком.

Итак, пусть для двух ненулевых целых положительных чисел a и b справедлив ряд равенств

заканчивающийся, когда r k+1 =0 (что неизбежно, так как b>r 1 >r 2 >r 3 , … - ряд убывающих целых чисел, и этот ряд не может содержать более чем конечное число положительных чисел), тогда r k – это наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, r k =НОД(a, b) .

Доказательство.

Докажем сначала, что r k является общим делителем чисел a и b , после чего покажем, что r k не просто делитель, а наибольший общий делитель чисел a и b .

Будем двигаться по записанным равенствам снизу вверх. Из последнего равенства можно сказать, что r k−1 делится на r k . Учитывая этот факт, а также предыдущее свойство НОД, предпоследнее равенство r k−2 =r k−1 ·q k +r k позволяет утверждать, что r k−2 делится на r k , так как и r k−1 делится на r k и r k делится на r k . По аналогии из третьего снизу равенства заключаем, что r k−3 делится на r k . И так далее. Из второго равенства получаем, что b делится на r k , а из первого равенства получаем, что a делится на r k . Следовательно, r k является общим делителем чисел a и b .

Осталось доказать, что r k =НОД(a, b) . Для достаточно показать, что любой общий делитель чисел a и b (обозначим его r 0 ) делит r k .

Будем двигаться по исходным равенствам сверху вниз. В силу предыдущего свойства из первого равенства следует, что r 1 делится на r 0 . Тогда из второго равенства получаем, что r 2 делится на r 0 . И так далее. Из последнего равенства получаем, что r k делится на r 0 . Таким образом, r k =НОД(a, b) .

Из рассмотренного свойства наибольшего общего делителя следует, что множество общих делителей чисел a и b совпадает с множеством делителей наибольшего общего делителя этих чисел. Это следствие из алгоритма Евклида позволяет найти все общие делители двух чисел как делители НОД этих чисел.

Пусть a и b – целые числа, одновременно не равные нулю, тогда существуют такие целые числа u 0 и v 0 , то справедливо равенство НОД(a, b)=a·u 0 +b·v 0 . Последнее равенство представляет собой линейное представление наибольшего общего делителя чисел a и b , это равенство называют соотношением Безу, а числа u 0 и v 0 – коэффициентами Безу.

Доказательство.

По алгоритму Евклида мы можем записать следующие равенства



Из первого равенства имеем r 1 =a−b·q 1 , и, обозначив 1=s 1 и −q 1 =t 1 , это равенство примет вид r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b , причем числа s 1 и t 1 - целые. Тогда из второго равенства получим r 2 =b−r 1 ·q 2 = b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b . Обозначив −s 1 ·q 2 =s 2 и 1−t 1 ·q 2 =t 2 , последнее равенство можно записать в виде r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b , причем s 2 и t 2 – целые числа (так как сумма, разность и произведение целых чисел является целым числом). Аналогично из третьего равенства получим r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b , из четвертого r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b , и так далее. Наконец, r k =s k ·a+t k ·b , где s k и t k - целые. Так как r k =НОД(a, b) , и, обозначив s k =u 0 и t k =v 0 , получим линейное представление НОД требуемого вида: НОД(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .

Если m – любое натуральное число, то НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b) .

Обоснование этого свойства наибольшего общего делителя таково. Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД(m·a, m·b)=m·r k , а r k – это НОД(a, b) . Следовательно, НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b) .

На этом свойстве наибольшего общего делителя основан способ нахождения НОД с помощью разложения на простые множители .

Пусть p – любой общий делитель чисел a и b , тогда НОД(a:p, b:p)=НОД(a, b):p , в частности, если p=НОД(a, b) имеем НОД(a:НОД(a, b), b:НОД(a, b))=1 , то есть, числа a:НОД(a, b) и b:НОД(a, b) - взаимно простые.

Так как a=p·(a:p) и b=p·(b:p) , и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД(a, b)=НОД(p·(a:p), p·(b:p))= p·НОД(a:p, b:p) , откуда и следует доказываемое равенство.

Только что доказанное свойство наибольшего общего делителя лежит в основе .

Сейчас озвучим свойство НОД, которое сводит задачу нахождения наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел к последовательному отысканию НОД двух чисел.

Наибольший общий делитель чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …, НОД(d k-1 , a k)=d k .

Доказательство базируется на следствии из алгоритма Евклида. Общие делители чисел a 1 и a 2 совпадают с делителями d 2 . Тогда общие делители чисел a 1 , a 2 и a 3 совпадают с общими делителями чисел d 2 и a 3 , следовательно, совпадают с делителями d 3 . Общие делители чисел a 1 , a 2 , a 3 и a 4 совпадают с общими делителями d 3 и a 4 , следовательно, совпадают с делителями d 4 . И так далее. Наконец, общие делители чисел a 1 , a 2 , …, a k совпадают с делителями d k . А так как наибольшим делителем числа d k является само число d k , то НОД(a 1 , a 2 , …, a k)=d k .

На этом закончим обзор основных свойств наибольшего общего делителя.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э. Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Ключевые слова конспекта: Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Наибольший общий делитель (НОД), а также наименьшее общее кратное (НОК). Деление с остатком.

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов - 1, 2, 3, 4 , … Но число 0 не является натуральным!

Множество натуральных чисел обозначают N . Запись «3 ∈ N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.

Десятичная система счисления - позиционная система счисления по основанию 10 .

Арифметические действия над натуральными числами

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Первые четыре действия являются арифметическими .

Пусть a, b и c - натуральные числа, тогда

1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

Свойства сложения
1. Переместительное а + b = b + а.
2. Сочетательное а + (b + с) = (а + Ь) + с.
3. а + 0= 0 + а = а.

2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность

Свойства вычитания
1. Вычитание суммы из числа а — (b + с) = а — b — с.
2. Вычитание числа из суммы (а + b) — с = а + (b — с); (а + b) — с = (а — с) + b.
3. а — 0 = а.
4. а — а = 0.

3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение

Свойства умножения
1. Переместительное а*b = b*а.
2. Сочетательное а*(b*с) = (а*b)*с.
3. 1 * а = а * 1 = а.
4. 0 * а = а * 0 = 0.
5. Распределительное (а + b) * с = ас + bс; (а — b) * с = ас — bс.

4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое: Делитель = Частное

Свойства деления
1. а: 1 = а.
2. а: а = 1. Делить на ноль нельзя!
3. 0: а= 0.

Порядок действий

1. Прежде всего действия в скобках.
2. Потом умножение, деление.
3. И только в конце сложение, вычитание.

Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым , если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 - простые числа.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным . Например, числа 4, 8, 15, 27 - составные числа.

Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 15 77 делится на 12 , поскольку множитель этого числа 24 делится на 12 .

Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а: b и c: b , то (а + c) : b . А если а: b , а c не делится на b , то a + c не делится на число b .

Если а: c и c: b , то а: b . Исходя из того, что 72:24 и 24:12, делаем вывод, что 72:12.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители .

Основная теорема арифметики : любое натуральное число (кроме 1 ) либо является простым , либо его можно разложить на простые множители только одним способом.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, задание: разложить на простые множители число 330 . Решение:

Признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 и 11.

Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10 .

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД ). Например, НОД (10; 25) = 5; а НОД (18; 24) = 6; НОД (7; 21) = 1.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1 , то эти числа называются взаимно простыми .

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

НОД часто используется в задачах. Например, между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько учеников в этом классе?

Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну. 155 = 5 31; 62 = 2 31. НОД (155; 62) = 31 .

Ответ: 31 ученик в классе.

Наименьшее общее кратное

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Например, число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32 , … Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшее общее кратное (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК ):

НОК также часто применяется в задачах. Например, два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой - за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте?

Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться на 1 мин , а также на 45 с . В 1 мин = 60 с. То есть необходимо найти НОК (45; 60). 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. НОК (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180 . В результате получается, что велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин.

Ответ: 3 мин.

Деление с остатком

Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b , то можно выполнить деление с остатком . В таком случае полученное частное называется неполным . Справедливо равенство:

а = b n + r,

где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток. Например, пусть делимое равно 243 , делитель - 4 , тогда 243: 4 = 60 (остаток 3) . То есть а = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тогда 243 = 60 4 + 3 .

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четными : а = 2n , n ∈ N.

Остальные числа называются нечетными : b = 2n + 1 , n ∈ N.

Это конспект по теме «Натуральные числа. Признаки делимости» . Чтобы продолжить, выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту:

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

Пример : НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример:

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

• Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
• Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
• Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).

Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

• Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :

Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

— это и есть искомый НОД.

Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа - результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

1. Разложить делители чисел на простые множители:

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД:

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

Второй способ записи НОД:

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

• Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

• 1. Разложить числа на простые множители.
• 2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
• 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.