Построим на плоскости множество допустимых решений системы линейных неравенств и геометрически найдём минимальное значение целевой функции.

Строим в системе координат х 1 ох 2 прямые

Находим полуплоскости, определяемые системой. Так как неравенства системы выполняется для любой точки из соответствующей полуплоскости, то их достаточно проверить для какой-либо одной точки. Используем точку (0;0). Подставим её координаты в первое неравенство системы. Т.к. , то неравенство определяет полуплоскость, не содержащую точку (0;0). Аналогично определяем остальные полуплоскости. Находим множество допустимых решений как общую часть полученных полуплоскостей - это заштрихованная область.

Строим вектор и перпендикулярно к нему прямую нулевого уровня.

Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области максимальная точка будет в точке А пересечения прямой (3) и прямой (2). Находим решение системы уравнений:

Значит, получили точку (13;11) и.

Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области минимальная точка будет в точке В пересечения прямой (1) и прямой (4). Находим решение системы уравнений:

Значит, получили точку (6;6) и.

2. Мебельная фирма производит комбинированные шкафы и компьютерные столики. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок, фурнитуры) и временем работы обрабатывающих их станков. Для каждого шкафа требуется 5 м2 досок, для стола - 2 м2. На один шкаф расходуется фурнитуры на 10$, на один столик также на 8$. Фирма может получать от своих поставщиков до 600 м2 досок в месяц и фурнитуры на 2000$. Для каждого шкафа требуется 7 часов работы станков, для стола - 3 часа. В месяц возможно использовать всего 840 часов работы станков.

Сколько комбинированных шкафов и компьютерных столиков фирме следует выпускать в месяц для получения максимальной прибыли, если один шкаф приносит 100$ прибыли, а каждый стол - 50$?

• 1. Составить математическую модель задачи и решить её симплексным методом.
• 2. Составить математическую модель двойственной задачи, записать её решение исходя из решения исходной.
• 3. Установить степень дефицитности используемых ресурсов и обосновать рентабельность оптимального плана.
• 4. Исследовать возможности дальнейшего увеличения выпуска продукции в зависимости от использования каждого вида ресурсов.
• 5. Оценить целесообразность введения нового вида продукции - книжных полок, если на изготовление одной полки расходуется 1 м 2 досок и фурнитуры на 5$,и требуется затратить 0,25 часа работы станков и прибыль от реализации одной полки составляет 20$.
• 1. Построим математическую модель для данной задачи:

Обозначим через x 1 - объём производства шкафов, а х 2 - объём производства столиков. Составим систему ограничений и функцию цели:

Задачу решаем симплекс-методом. Запишем её в каноническом виде:

Запишем данные задачи в виде таблицы:

Таблица 1

Т.к. теперь все дельта больше нуля, то дальнейшее увеличение значения функции цели f невозможно и мы получили оптимальный план.

ТЕМА: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЗАДАЧА 2.А. Решение задачи линейного программирования графическим методом

Внимание!

Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы №2073, цена оригинала 200 рублей. Оформлена в программе Microsoft Word.

Оплата . Контакты.

Вариант 7. Найти максимальное и минимальное значения линейной функции Ф = 2x 1 — 2·x 2 при ограничениях: x 1 + х 2 ≥ 4;

— х 1 + 2·х 2 ≤ 2;

x 1 + 2·х 2 ≤ 10;

х i ≥ 0, i = 1,2.

Решение:

Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 + х2 = 4;

— х1 + 2·х2 = 2;

x1 + 2·х2 = 10.

Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – четырехугольник MNPQ.

Минимальное значение функ-

ции — в точке М(2; 2)

Ф min = 2·2 — 2·2 = 0.

Максимальное значение достигается в точке N (10; 0),

Ф max = 2·10 — 2·0 = 20.

Вариант 8. Найти максимальное и минимальное значения

линейной функции Ф = x 1 + x 2

при ограничениях: x 1 — 4·х 2 — 4 ≤ 0;

3·х 1 — х 2 ≥ 0;

x 1 + х 2 — 4 ≥ 0;

х i ≥ 0, i = 1,2.

Решение:

Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 — 4·х2 = 4 ;

3·х1 — х2 = 0;

Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – неограниченный многоугольник MNPQ.

Минимальное значение функ-

ции – на прямой NP, например

в точке Р(4; 0)

Ф min = 4 + 0 = 4.

ОДР сверху не ограничена, следовательно, Ф max = + ∞.

Вариант 10. Найти максимальное и минимальное значения

линейной функции Ф = 2·x 1 — 3·x 2

при ограничениях: x 1 + 3·x 2 ≤ 18;

2·х 1 + х 2 ≤ 16;

х 2 ≤ 5;

х i ≥ 0, i = 1,2.

Заменив условно знаки неравенств знаками равенств, получим систему уравнений

x 1 + 3·x 2 = 18 (1);

2·х 1 + х 2 = 16 (2);

3·х 1 = 21 (4).

Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть — область допустимых решений ОДР – многоугольник MNPQRS.

Построим вектор Г(2; -3) и через начало координат проведем линию уровня – прямую.

Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом растет. В точке S(7; 0) целевая функция достигает максимума Ф max =2·7–3·0= = 14. Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом убывает. Минимальное значение функции — в точке N(0; 5)

Ф min = 2·0 – 3·5 = –15.

ЗАДАЧА 2.B. Решение задачи линейного программирования

аналитическим симплексным методом

Вариант 7. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 — x 2 + x 3 + x 4 + x 5 — x 6

при ограничениях: x 1 + x 4 +6·x 6 = 9,

3·x 1 + x 2 – 4·x 3 + 2·x 6 = 2,

x 1 + 2·x 3 + x 5 + 2·x 6 = 6.

Решение:

Количество неизвестных n=6, количество уравнений m=3. Следовательно, r = n-m = 3 неизвестных можно принять в качестве свободных. Выберем x 1 , x 3 и x 6 .

Базисные переменные x 2 ,x 4 и x 5 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису

х 2 = 2 — 3·x 1 + 4·x 3 – 2·x 6

x 4 = 9 – x 1 – 6·x 6 (*)

x 5 = 6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6

Целевая функция будет иметь вид:

Ф = x 1 — 2 + 3·x 1 — 4·x 3 + 2·x 6 + x 3 + 9 – x 1 – 6·x 6 +6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6 – x 6 =

13 + 2·x 1 — 5·x 3 – 7·x 6

Положим x 1 = x 3 = x 6 = 0, при этом базисные переменные примут значения x 2 = 2; x 4 = 9; x 5 = 6, то есть, первое допустимое решение (0; 2; 0; 9; 6; 0), целевая функция Ф 1 = 13.

Переменные х 3 и х 6 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, к примеру, х 6 . Из 1-го уравнения системы (*) видно, что увеличение значения x 6 возможно до x 6 = 1 (пока x 2 ³ 0). При этом x 1 и x 3 сохраняют значения, равные нулю. Теперь в качестве базисных переменных примем х 4 , х 5 , х 6 , в качестве свободных – х 1 , х 2 , х 3 . Выразим новые базисные переменные через новые свободные. Получим

х 6 = 1 – 3/2·x 1 – 1/2·x 2 + 2·x 3

x 4 = 3 + 8·x 1 + 3·x 2 – 12·x 3

x 5 = 4 + 2·x 1 + x 2 – 6·x 3

Ф = 6 + 25/2 ·x 1 + 7/2·x 2 – 19·x 3

Присвоим свободным переменным нулевые значения, то есть, x 1 =x 2 = x 3 =0, при этом х 6 = 1, x 4 = 3, x 5 = 4, то есть, третье допустимое решение (0; 0; 0; 3; 4; 1). При этом Ф 3 = 6.

Переменная x 3 входит в целевую функцию с отрицательным коэффициентом, следовательно увеличение x 3 относительно нулевого значения приведет к снижению Ф. Из 2-го уравнения видно, что x 3 может возрастать до 1/4, из 3-го уравнения – до 2/3. Второе уравнение более критично. Переменную x 3 переведем в число базисных, x 4 — в число свободных.

Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 2 и x 4 . Выразим через них новые базисные переменные x 3 , x 5 , x 6 . Получим систему

х 3 = 1/4 + 2/3·x 1 + 1/4·x 2 – 1/12·x 4

x 5 = 5/2 — 2·x 1 – 1/2·x 2 + 1/2·x 4

x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4

Целевая функция примет вид

Ф = 5/4 — 1/6·x 1 — 5/4·x 2 + 19/12·x 4

Переменные х 1 и х 2 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, например, х 2 . Из 2-го уравнения системы видно, что увеличение значения x 2 возможно до x 2 = 5 (пока x 5 ³ 0). При этом x 1 и x 4 сохраняют нулевые значения, значения других переменных равны x 3 = 3/2; x 5 = 0, x 6 = 3/2, то есть, четвертое допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2). При этом Ф 4 = 5/4.

Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 4 и x 5 . Выразим через них новые базисные переменные x 2 , x 3 , x 6 . Получим систему

х 2 = 5 — 4·x 1 + x 4 – 2·x 5

x 3 = 3/2 – 1/3·x 1 + 1/6·x 4 — 1/2·x 5

x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4

Целевая функция примет вид

Ф = — 5 + 29/6·x 1 + 1/3·x 4 + 5/2·x 5

Коэффициенты при обеих переменных в выражении для Ф положительные, следовательно, дальнейшее уменьшение величины Ф невозможно.

То есть, минимальное значение Ф min = — 5, последнее допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) является оптимальным.

Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = 4·x 5 + 2·x 6

при ограничениях: x 1 + x 5 + x 6 = 12;

x 2 + 5·x 5 — x 6 = 30;

x 3 + x 5 — 2·x 6 = 6;

2·x 4 + 3·x 5 — 2·x 6 = 18;

Решение:

Количество уравнений равно 4, количество неизвестных – 6. Следовательно r = n – m = 6 – 4 = 2 переменных можем выбрать в качестве свободных, 4 переменных – в качестве базисных. В качестве свободных выберем x 5 и x 6 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Выразим базисные переменные через свободные и приведем систему уравнений к единичному базису

x 1 = 12 — x 5 — x 6 ;

x 2 = 30 — 5·x 5 + x 6 ;

x 3 = 6 — x 5 + 2·x 6 ;

x 4 = 9 — 3/2·x 5 + x 6 ;

Целевую функцию запишем в виде Ф = 4·x 5 + 2·x 6 . Присвоим свободным переменным нулевые значения x 5 = x 6 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9, то есть, получим первое допустимое решение (12, 30, 6, 9, 0,) и Ф 1 = 0.

В целевую функцию обе свободные переменные входят с положительными коэффициентами, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Переведем, например, x 6 в число базисных. Из уравнения (1) видно, что x 1 = 0 при x 5 = 12, в (2) ÷ (4) x 6 входит с положительными коэффициентами. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 2 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 5. Выразим новые базисные переменные через новые свободные

х 6 = 12 — x 1 — x 5 ;

x 2 = 42 — x 1 — 6·x 5 ;

x 3 = 30 — 2·x 1 — 3·x 5 ;

x 4 = 21 — x 1 — 5/2·x 5 ;

Целевая функция примет вид Ф = 24 — 2·x 1 + 2·x 5 ;

Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 5 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 =12, x 2 =42, x 3 = 30, x 4 = 21, то есть, получим второе допустимое решение (0, 42, 30, 21, 0, 12) и Ф 2 = 24.

В целевую функцию x 5 входит с положительным коэффициентом, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 5 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 2. Выразим новые базисные переменные через новые свободные

х 6 = 5 — 5/6·x 1 + 1/6·x 2 ;

x 5 = 7 — 1/6·x 1 — 1/6·x 2 ;

x 3 = 9 — 3/2·x 1 + 1/2·x 2 ;

x 4 = 7/2 — 7/12·x 1 + 5/12·x 5 ;

Целевая функция примет вид Ф = 38 – 7/2·x 1 – 1/3·x 2 ;

Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 2 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7/2, то есть, получим третье допустимое решение Х 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф 3 = 38.

В целевую функцию обе переменные входят с отрицательными коэффициентами, то есть, дальнейшее увеличение Ф невозможно.

Следовательно, последнее допустимое решение является оптимальным, то есть, Х опт = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф max = 38.

Вариант 10. Максимизировать целевую функцию Ф = x 2 + x 3

при ограничениях: x 1 — x 2 + x 3 = 1,

x 2 — 2·х 3 + х 4 = 2.

Решение:

Система уравнений — ограничений совместна, так как ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, две переменные можно принять в качестве свободных, две другие переменные — базисные — выразить линейно через две свободные.

Примем за свободные переменные x 2 и х 3 .Тогда базисными будут переменные х 1 и х 2 , которые выразим через свободные

x 1 = 1 + x 2 — x 3 ; (*)

x 4 = 2 — x 2 + 2·x 3 ;

Целевая функция уже выражена через x 2 и x 3 , то есть, Ф = x 2 + x 3 .

При х 2 =0 и х 3 =0 базисные переменные будут равными х 1 = 1, х 4 = 2.

Имеем первое допустимое решение Х 1 = (1, 0, 0, 2), при этом Ф 1 = 0.

Увеличение Ф возможно при увеличении, например, значения х 3 , который входит в выражение для Ф с положительным коэффициентом (x 2 при этом остается равным нулю). В первое уравнение системы (*) видно, что х 3 можно увеличивать до 1 (из условия х 1 ³0), то есть это уравнение накладывает ограничение на увеличение значения х 3 . Первое уравнение системы (*) является разрешающим. На базе этого уравнения переходим к новому базису, поменяв х 1 и х 3 местами. Теперь базисными переменными будут х 3 и x 4 , свободными — x 1 и x 2 . Выразим теперь х 3 и x 4 через х 1 и х 2 .

Получим: x 3 = 1 — x 1 + x 2 ; (**)

x 4 = 4 — 2·x 1 + x 2 ;

Ф = х 2 + 1 — х 1 + х 2 = 1 — x 1 + 2·x 2

Приравняв нулю свободные переменные, получим второе допустимое базисное решение Х 2 = (0; 0; 1; 4), при котором Ф 2 =1.

Увеличение Ф возможно при увеличении х 2 . Увеличение же х 2 , судя по последней системе уравнений (**), не ограничено. Следовательно, Ф будет принимать все большие положительные значения, то есть, Ф мах = + ¥.

Итак, целевая функция Ф не ограничена сверху, потому оптимального решения не существует.

ЗАДАЧА 2.D. Составить задачу, двойственную к приведенной

исходной задаче.

Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2 × х 1 — х 4

при ограничениях: х 1 + х 2 = 20,

х 2 + 2 × х 4 ≥ 5,

х 1 + х 2 + х 3 ≤ 8,

х i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)

Решение:

Приведем систему ограничений к единому, например, каноническому виду, введя дополнительные переменные во 2-ое и 3-е уравнения

х 1 + х 2 = 20,

х 2 + 2× х 4 – х 5 = 5,

— х 1 + х 2 + х 3 + х 6 = 8.

Получили несимметричную задачу 2-го типа. Двойственная задача будет иметь вид:

Минимизировать целевую функцию F = 20× у 1 + 5× y 2 + 8× y 3

при y 1 — y 3 ≥ 2,

y 1 + y 2 + y 3 ≥ 0,

y 3 ≥ 0,

2× y 2 ≥ 1,

Y 2 ≥ 0,

y 3 ≥ 0.

Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = х 2 — х 4 — 3 × х 5

при ограничениях: х 1 + 2 × х 2 — х 4 + х 5 = 1,

— 4 × х 2 + х 3 + 2 × х 4 — х 5 = 2,

3 × х 2 + х 5 + х 6 = 5,

x i ≥ 0, (i = 1, 6)

Решение:

Имеем исходную задачу на максимизацию с системой ограничений в виде уравнений, то есть, пара двойственных задач имеет несимметричный вид 2-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид:

Исходная задача: Двойственная задача:

Ф = С× Х max F = B Т × Y min

при А× Х = В при A Т × Y ≥ С Т

В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции имеет вид С = (0; 1; 0; -1; -3; 0),

матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид

В = 2 , А = 0 — 4 1 2 -1 0

Найдем транспонированную матрицу коэффициентов, матрицу-строку коэффициентов при переменных в целевой функции и матрицу-столбец свободных членов

0 1 0 0 В Т = (1; 2; 5)

A T = -1 2 0 С Т = -1

Двойственная задача запишется в следующем виде:

найти минимальное значение целевой функции F = y 1 + 2× y 2 + 5× y 3

при ограничениях y 1 ≥ 0,

2× y 1 — 4× y 2 + 3× y 3 ≥ 1,

— y 1 + 2× y 2 ≥ -1,

y 1 — y 2 + y 3 ≥ -3,

Вариант 10. Минимизировать функцию Ф = х 1 + х 2 + х 3

при ограничениях: 3 × х 1 + 9 × х 2 + 7 × х 3 ≥ 2,

6 × х 1 + 4·х 2 + 5 × х 3 ≥ 3,

8 × х 1 + 2·х 2 + 4 × х 3 ≥ 4,

Решение:

Имеем исходную задачу на минимизацию с системой ограничений в виде неравенств, то есть, пара двойственных задач имеет симметричный вид 3-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид:

Исходная задача Двойственная задача

Ф = С× Х min F = B Т × Y max

при А × Х ≥ В при A Т × Y ≤ С Т

Х ≥ 0 Y ≥ 0

В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции, матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид

С = (1; 1; 1), В = 3 , А = 6 4 5

Найдем матрицы двойственной задачи

В T = (2; 3; 4) С T = 3 A T = 9 4 2

Двойственная задача формулируется в виде:

Максимизировать целевую функцию F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3

при ограничениях 3× y 1 + 6× y 2 + 8× y 3 ≤ 1,

9× y 1 + 4× y 2 + 2× y 3 ≤ 1,

7× y 1 + 5× y 2 + 4× y 3 ≤ 1,

y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3)

ЗАДАЧА 2.С. Решение задачи линейного программирования с помощью симплексных таблиц.

Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2·x 1 — x 2 + 3·x 3 + 2·x 4

при ограничениях: 2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 ≤ 4,

x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 ≥ 1,

4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 ≤ 8.

Решение:

Приведем систему ограничений к каноническому виду

2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 + z 1 = 4, (1)

x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1, (2)

4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3)

Имеем систему 3-х уравнений с 7-ю неизвестными. Выберем в качестве базисных 3 переменных x 1 , z 1 , z 3 , в качестве свободных — x 2 , x 3 , x 4 , z 2 , выразим через них базисные переменные.

Из (2) имеем x 1 = 1 + 2·x 2 — 5·x 3 + 3·x 4 + x 6

Подставим в (1) и (3), получим

x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1,

z 1 + 7·x 2 — 11·x 3 + 8·x 4 + 2·z 2 = 2,

z 3 + 18·x 2 — 17·x 3 + 13·x 4 + 4·z 2 = 4,

Ф — 3·x 2 + 7·x 3 — 8·x 4 — 2· z 2 = 2.

Составим симплекс-таблицу

I итерация Таблица 1

Базисн. перем.	Свобод. перем.
x 1	1	1	— 2	5	— 3	0	— 1	0		3/8
z 1	2	0	7	-11		1	2	0	1/ 4	1/8
z 3	4	0	18	-17	13	0	4	1	4/13	13/8
Ф	2	0	— 3	7	— 8	0	— 2	0		1

Х 1 = (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) Ф 1 = 2.

II итерация Таблица 2

x 1	14/8	1	5/8	7/8	0	3/8	-2/8	0	2	— 1
x 4	1/ 4	0	7/8	-11/8	1	1/8	2/8	0		11/7
z 3	6/8	0	53/8		0	-13/8	6/8	1	6/7	8/7
Ф	4	0	4	— 4	0	1	0	0		32/7

Х 2 = (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 = 4.

III итерация Таблица 3

x 1	1	1	— 6	0	0		-1	— 1		1/2
x 4	10/ 7	0	79/7	0	1	-17/7	10/7	11/7		11/7
x 3	6/7	0	53/7	1	0	-13/7	6/7	8/7		13/14
Ф	52/7	0	240/7	0	0	-45/7	24/7	32/7		45/14

Х 3 = (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) Ф 3 = 52/7.

IV итерация Таблица 4

z 1	1/ 2	1/2	— 3	0	0	1	-1/2	-1/2
x 4	37/ 14	17/14	56/14	0	1	0	3/14	5/14
x 3	25/14	13/14	28/14	1	0	0	-1/14	3/14
Ф	149/14	45/14	15	0	0	0	3/14	19/14

Х 4 = (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) Ф 4 = 149/14.

В индексной строке последней таблицы нет отрицательных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i < 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.

Ответ: Ф m ax = 149/14,

оптимальное решение (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)

Вариант 8. Минимизировать целевую функцию Ф = 5·x 1 — x 3

при ограничениях: x 1 + x 2 + 2·x 3 — x 4 = 3,

x 2 + 2· x 4 =1,

Решение:

Количество переменных равно 4, ранг матрицы — 2, следовательно количество свободных переменных равно r = 4 — 2 = 2, количество базисных тоже 2. В качестве свободных переменных примем х 3 , х 4 , базисные переменные x 1 , x 2 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису:

x 2 = 1 — 2· x 4 ,

x 1 = 3 — x 2 — 2·x 3 + x 4 = 3 – 1 + 2· x 4 — 2·x 3 + x 4 = 2 — 2·x 3 + 3· x 4

Ф = 5·x 1 — x 3 = 5·(2 — 2·x 3 + 3· x 4) — x 3 = 10 — 10·x 3 + 15· x 4 — x 3 = 10 — 11·x 3 + 15· x 4

Запишем систему уравнений и целевую функцию в удобном для симплекс-таблицы виде, то есть, x 2 + 2· x 4 = 1,

x 1 +2·x 3 — 3· x 4 = 2

Ф + 11·x 3 — 15· x 4 = 10

Составим таблицу

I итерация Таблица 1

Базисн. перем.	Свобод. перем.
X 1	2	1	0		— 3		1/2
X 2	1	0	1	0	2
Ф	10	0	0	11	— 15		— 11/2

Х 1 = (2; 1; 0; 0) Ф 1 = 10.

II итерация Таблица 2

X 3	1	1/2	0	1	-3/2		3/4
X 2	1	0	1	0			1/2
Ф	— 1	— 11/2	0	0	3/2		— 3/4

Х 2 = (0; 1; 1; 0) Ф 2 = -1.

III итерация Таблица 3

X 3	7/4	1/2	3/4	1	0
X 4	1/2	0	1/2	0	1
Ф	— 7/4	— 11/2	— 3/4	0	0

Х 3 = (0; 0; 7/4; 1/2) Ф 3 = -7/4.

В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i > 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.

Ответ: Ф min = -7/4, оптимальное решение (0; 0; 7/4; 1/2)

********************

Вариант 10. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 + x 2 ,

при ограничениях: x 1 –2·x 3 + x 4 = 2,

x 2 – x 3 + 2·x 4 = 1,

Решение:

Количество переменных равно 5, ранг матрицы — 3, следовательно количество свободных переменных равно r = 6-3 = 2. В качестве свободных переменных примем х 3 и х 4 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 5 . Все уравнения системы уже приведены к единичному базису (базисные переменные выражены через свободные), но записаны в виде, не удобном к применению симплекс-таблиц. Запишем систему уравнений в виде

x 1 — 2·x 3 + x 4 = 2

x 2 — x 3 +2·x 4 = 1

x 5 + x 3 — x 4 . = 5

Целевую функцию выразим через свободные переменные и запишем в виде Ф — 3·x 3 +3·x 4 = 3

Составим таблицу

I итерация Таблица 1

Базисн. перем.	Свобод. перем.
х 1	2	1	0	-2	1	0	2	-1/2
х 2	1	0	1	-1		0	1/2	1/2
х 5	5	0	0	1	-1	1		1/2
Ф	3	0	0	-3	3	0		-3/2

Х 1 = (2; 3; 0; 0; 5) Ф 1 = 3.

Таблица 2

х 1	3/2	1	-1/2	-3/2	0	0
х 4	1/2	0	1/2	-1/2	1	0
х 5	11/2	0	1/2	1/2	0	1
Ф	3/2	0	-3/2	-3/2	0	0

Х 2 = (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) Ф 2 = 3/2.

В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Гi > 0. Имеем случай 1, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.

Ответ: Ф min = 3/2, оптимальное решение (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2).

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Федеральное агентство по образованию

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине « ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ »

на тему « МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ »

вариант 7

Выполнил:

студент заочного отделения

4-го курса группы ЗА-419

ФИО: Кужелев С. А.

Проверила:

Девятерикова М. В.

Омск – 2012 г.
^

Задание 1. Графический метод решения задач линейного программирования.

7) 7x 1 + 6x 2 → max 20x 1 + 6x 2 ≤ 15 16x 1 − 2x 2 ≤ 18 8x 1 + 4x 2 ≤ 20 13x 1 + 3x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0.

Шаг 1. Построение допустимой области

Условия неотрицательности переменных и квадратов ограничивают область их допустимых значений первым квадрантом. Каждому из оставшихся четырех ограничений-неравенств модели соответствует некоторая полуплоскость. Пересечение этих полуплоскостей с первым квадрантом образует множество допустимых решений задачи.

Первое ограничение модели имеет вид . Заменив в нем знак ≤ на знак =, получаем уравнение. На рис. 1.1 оно определяет прямую (1), которая разбивает плоскость на две полуплоскости, в данном случае выше линии и ниже нее. Чтобы выбрать, какая из них удовлетворяет неравенству , подставим в него координаты любой точки, не лежащей на данной прямой (например, начало координат х 1 = 0, х 2 = 0). Так как получаем верное выражение (20 0 + 6 0 = 0 ≤15), то неравенству удовлетворяет полуплоскость, содержащая начало координат (помечена стрелкой). В противном случае другая полуплоскость.

Аналогично поступаем с остальными ограничениями задачи. Пересечение всех построенных полуплоскостей с первым квадрантом образует ABCD (см. рис. 1). Это и есть допустимая область задачи.

Шаг 2. Построение линии уровня Линия уровня целевой функции - это множество точек плоскости, в которых целевая функция принимает постоянное значение. Такое множество задается уравнением f ( x ) = const . Положим, например, const = 0 и построим линию у ровня f ( x ) = 0 , т.е. в нашем случае прямую 7x 1 + 6x 2 = 0.

Данная прямая проходит через начало координат и перпендикулярна вектору . Этот вектор является градиентом целевой функции в точке (0,0). Градиент функции - это вектор значений частных производных данной функции в рассматриваемой точке. В случае задачи ЛП частные производные целевой функции равны коэффициентам C i, j = 1 , ..., n .

Градиент показывает направление наискорейшего роста функции. Перемещая линию уровня целевой функции f ( x ) = const . перпендикулярно направлению градиента, найдем последнюю точку, в которой она пересекается с областью. В нашем случае это точка D, которая и будет точкой максимума целевой функции (см. рис. 2)

Она лежит на пересечении прямых (2 ) и (3 ) (см. рис. 1 ) и задает оптимальное решение.

^ Заметим, что если требуется найти минимальное значение целевой функции, линию уровня перемещают в направлении, противоположном направлению градиента.

^ Шаг 3. Определение координат точки максимума (минимума) и оптимального значения целевой функции

Чтобы найти координаты точки C, необходимо решить систему, состоящую из соответствующих прямым уравнений (в данном случае из уравнений 2 и 3 ):

16x 1 − 2x 2 ≤ 18

8x 1 + 4x 2 ≤ 20

Получим оптимальное решение = 1,33.

^ Оптимальное значение целевой функции f * = f (х*) = 7 * 0 + 6 * 1,33 = 7,8