Метод крамера решения систем линейных уравнений. Как в Excel решить систему линейных уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны в учебнике "Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966". Скачать - 11Мб

1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)

Если дано уравнение:
A*X = B, где A - квадратная матрица, X,B - вектора;
причем B - известный вектор (т е столбец чисел), X - неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A -1 *B, где A -1 - обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы (или матрица на вектор) - функцией МУМНОЖ().

Имеются "тонкости" использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно:

1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР(3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область Чтобы умножить матрицу на вектор: 1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат умножения 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель; (точка с запятой) 5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel. Пример СЛАУ 4-го порядка

Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.

2. Метод Гаусса

Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы или воспользоваться специальными программами, например, этой

Краткое описание.

3. Метод Якоби (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4) (3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ". Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения таких систем уравнений. Конечно, это не дело. В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:

Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид:


А вектор В2:

Решение систем линейных уравнений в Excel

1. Введение

Многие задачи организации строительного производства сводятся к решению систем линейных уравнений вида:

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 1,
				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
	n 1 1

называемой системой n линейных алгебраических уравнений(СЛАУ ) с n

неизвестными.

При этом произвольные числа a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n ) называются

коэффициентами при неизвестных, а числа b i (i = 1, 2,…, n ) – свободными

членами.

Систему(1) можно записать в матричной форме

A X = B,

где A – матрица коэффициентов при неизвестных:

					a2 n
			an 1	an 1
	an 1				an 1

X – вектор- столбец неизвестных X= (x1 , x2 , …, xn ) T :

B – вектор-столбец свободных членов:

b 2B ,

или B = (b 1 ,b 2 ,...,b n )T .

2. Операции с матрицами в Excel

В Excel для операций с матрицами служат функции из категории «Математические»:

1) МОПРЕД(матрица) – вычисление определителя матрицы, 2)МОБР(матрица) – вычисление обратной матрицы, 3)МУМНОЖ(матрица1;матрица2) – произведение матриц, 4)ТРАНСП(матрица) – транспонирование матрицы.

Первая из этих функций в качестве результатавозвращает число (определитель матрицы ), поэтомувводится как обычная формула (ENTER ).

Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как формулы массива (CTRL+SHIFT+ENTER ).

Рассмотрим задачурешения СЛАУ на следующем примере

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x 1 4x 2 8x 3 18.

Матрица коэффициентов при неизвестных A (3) имеет вид

а вектор-столбец свободных членов (5)B = (–24, –48, 18)T .

Решим СЛАУ (7) в среде MS Excel тремя различными способами.

Матричный способ решения (обратной матрицы)

Обе части матричного равенства (2) умножим на обратную матрицу А -1 . Получим A –1 A X =A –1 B . Так как A –1 A =E , гдеE – единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы). Тогда решение системы (2) запишется в следующем виде

МУМНОЖ(матрица1;матрица2), завершая в каждом случае ввод комбинацией

CTRL+SHIFT+ENTER.

Метод Крамера

Решение СЛАУ находится по формулам Крамера

	det A
		det A
	det A 2
		det A
	det A
	det A

где det A =A – определитель матрицы (3) системы (главный определитель), detA i =A i (i = 1, 2, …,n )– определители матрицA i (вспомогательные определители), которые получаются изA заменой i -го столбца на столбец свободных членовB (5).

Для рассматриваемой СЛАУ (7) вспомогательные матрицы имеют следующий вид

A 148

Разместим их на рабочем листе (рис. 1).

Аналогичная формула (=МОПРЕД(A3:C5) ) для вычисления определителя матрицыA записана в ячейкуE8 . Осталось найти решение системы. Соответствующие формулы Excel запишем в интервал решенияB7:B9 (рис. 3), в котором и увидим результат (рис. 4).

Обратите внимание на то (рис. 3), что при вычислении x i (i = 1, 2, 3)

анализируется значение определителя матрицы системы A , вычисленное в ячейке E8, и, если оно равно нулю, то в B7 помещается текст« Решения нет», а в ячейки B8 и B9 – пустые строки.

3. Решение СЛАУ с использованием инструмента Поиск решения

Широкий класс производственных задач составляют задачи оптимизации. Задачи оптимизации предполагают поиск значений аргументов, доставляющих функции, которую называют целевой , минимальное или максимальное значение при наличии каких-либо дополнительных ограничений. Excel располагает мощным средством для решения оптимизационных задач.

Это инструмент-надстройка, который называетсяПоиск решения (Solver )

(доступен через менюСервис  Поиск решения ) .

Задачу решения СЛАУ можно свести к оптимизационной задаче.

Для чего одно из уравнений (например, первое) взять в качестве целевой функции, а оставшиеся n -1 рассматривать в качестве ограничений.

Запишем систему(1) в виде

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
							b 0.
	n 1 1

Для решения этой задачи необходимо записать выражения (формулы) для вычисления значений функций, стоящих слева в уравнениях системы (12). Отведем для примера под эти формулы интервал C7:C9 . В ячейкуC7 введем формулу =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 и скопируем ее в оставшиесяC8 иC9 . В них появятся соответственно =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 и =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 .

В окне диалога Поиск решения (рис. 5) задать параметры поиска (установить целевую ячейкуC7 равной нулю, решение в изменяемых ячейкахB7:B9 , ограничения заданы формулами в ячейкахC8 и С9 ). После щелчка по кнопкеВыполнить в

интервале B7:B9 получим результат (рис. 6) – решение СЛАУ.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Навигация по странице.

Метод Крамера - вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

Где x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные переменные, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b 1 , b 2 , …, b n - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x 1 , x 2 , …, x n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B , где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x 1 . Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А 1 1 , обе части второго уравнения – на А 2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А n 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А ):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x 2 . Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А :

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

То получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x 1 и x 2 по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x 1 и x 2 в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .

Решение.

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле

Имеем

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :

Таким образом,

Ответ:

Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x 1 , x 2 , …, x n . Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x , y и z вместо x 1 , x 2 и x 3 ). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:

Осталось найти неизвестные переменные по формулам :

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел ):

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Ответ:

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Крамера, - некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: . выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :

Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера . Для этого используем уже решенный пример 8 .

В EXCEL реализована функция вычисления определителей (см. п.7). Запишем матрицу коэффициентов и матрицы, полученные из нее заменой по очереди всех столбцов на столбец свободных членов. Листинг вычислений представлен на рис. 8:

Матрицы записаны в диапазонах

А значения определителей – в ячейках . Столбец свободных членов – в G2:G6. Решение системы – в I2:I6.

Тот же пример решим с помощью обратной матрицы . В EXCEL реализованы функции для нахождения обратных матриц и перемножения матриц (см. п.7). Листинг решения представлен на рис. 9. В диапазоне записана матрица коэффициентов, в ячейках – вектор свободных членов, в диапазоне обратная матрица, в ячейках – решение системы, полеченное как результат умножения матрицы на матрицу .

Предложим еще один способ решения линейных систем в EXCELL. Возможно, для систем он не покажется эффективным, однако знакомство с ним полезно для решения задач оптимизации, в частности задач линейного программирования. Инструментом для этого метода служит процедура Поиск решения, которая находится в Надстройках. После вызова процедуры появляется окно, представленное на рис. 11.

Покажем решение системы на примере.

Пример 12. Решить систему

В ячейки введена матрица коэффициентов уравнений системы, в – коэффициенты последнего уравнения, в ячейки G3:G6 - столбец свободных членов. Ячейки B1:E1 отведем для значений неизвестных. В ячейках F3:F6 сосчитаем сумму произведений коэффициентов каждого уравнения на неизвестные (для этого воспользуемся встроенной функцией СУММПРОИЗВ). Выберем ячейку F6 в качестве целевой и вызовем процедуру Поиск решения . В окошке установим, что целевая ячейка должна быть равной свободному члену последнего уравнения, и заполним поля. В поле «изменяя ячейки» введем B1:E1. В поле «ограничения» будем вводить первые уравнения. А именно, значение в ячейке F3 должно равняться заданному значению в ячейке G3 (1-е уравнение). Аналогично добавляем два других уравнения. После заполнения всех полей нажимаем .