Доверительные интервалы для оценки математического ожидания. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности
Для начала напомним следующее определение:
Будем рассматривать следующую ситуацию. Пусть варианты генеральной совокупности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и среднем квадратическим отклонением $\sigma $. Выборочное среднее в данном случае будет рассматриваться как случайная величина. Когда величина $X$ распределена нормально, выборочное среднее будет также иметь нормальное распределение с параметрами
Найдем доверительный интервал, который покрывает величину $a$ с надежностью $\gamma $.
Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство
Из нее получим
Отсюда мы можем легко найти $t$ по таблицы значений функции $Ф\left(t\right)$ и, как следствие, найти $\delta $.
Напомним таблицу значений функции $Ф\left(t\right)$:
Рисунок 1. Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$
Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при неизвестном ${\mathbf \sigma }$
В этом случае мы будем пользоваться значением исправленной дисперсии $S^2$. Заменяя в выше выведенной формуле $\sigma $ на $S$, получим:
Пример задач на нахождение доверительного интервала
Пример 1
Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =4$. Пусть объем выборки $n=64$, а надежность равна $\gamma =0,95$. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания данного распределения.
Нам необходимо найти интервал ($\overline{x}-\delta ,\overline{x}+\delta)$.
Как мы видели выше
\[\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}=\frac{4t}{\sqrt{64}}=\frac{\ t}{2}\]
Параметр $t$ найдем из формулы
\[Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,95}{2}=0,475\]
Из таблицы 1 получаем, что $t=1,96$.
Доверительный интервал – предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью γ будет находится в этом интервале при выборке большего объема. Обозначается как P(θ - ε . На практике выбирают доверительную вероятность γ из достаточно близких к единице значений γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 .Назначение сервиса . С помощью этого сервиса определяются:
- доверительный интервал для генерального среднего, доверительный интервал для дисперсии;
- доверительный интервал для среднего квадратического отклонения, доверительный интервал для генеральной доли;
Пример №1
. В колхозе из общего стада в 1000 голов овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. В результате был установлен средний настриг шерсти 4,2 кг на одну овцу. Определить с вероятностью 0,99 среднюю квадратическую ошибку выборки при определении среднего настрига шерсти на одну овцу и пределы, в которых заключена величина настрига, если дисперсия равна 2,5 . Выборка бесповторная.
Пример №2
. Из партии импортируемой продукции на посту Московской Северной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта «А». В результате проверки установлена средняя влажность продукта «А» в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %.
Определите с вероятностью 0,683 пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.
Пример №3
. Опрос 36 студентов показал, что среднее количество учебников, прочитанных ими за учебный год, оказалось равным 6. Считая, что количество учебников, прочитанных студентом за семестр, имеет нормальный закон распределения со средним квадратическим отклонением, равным 6, найти:
А) с надежностью 0,99 интервальную оценку для математического ожидания этой случайной величины;
Б) с какой вероятностью можно утверждать, что среднее количество учебников, прочитанных студентом за семестр, вычисленное по данной выборке, отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на 2.
Классификация доверительных интервалов
По виду оцениваемого параметра:
По типу выборки:
- Доверительный интервал для бесконечной выборки;
- Доверительный интервал для конечной выборки;
Расчет средней ошибки выборки при случайном отборе
Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности .Обозначения основных параметров генеральной и выборочной совокупности.
| Формулы средней ошибки выборки | |||
| повторный отбор | бесповторный отбор | ||
| для средней | для доли | для средней | для доли |
 |
|||
Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора
Часто оценщику приходится анализировать рынок недвижимости того сегмента, в котором располагается объект оценки. Если рынок развит, проанализировать всю совокупность представленных объектов бывает сложно, поэтому для анализа используется выборка объектов. Не всегда эта выборка получается однородной, иногда требуется очистить ее от экстремумов - слишком высоких или слишком низких предложений рынка. Для этой цели применяется доверительный интервал . Цель данного исследования - провести сравнительный анализ двух способов расчета доверительного интервала и выбрать оптимальный вариант расчета при работе с разными выборками в системе estimatica.pro.
Доверительный интервал - вычисленный на основе выборки интервал значений признака, который с известной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности.
Смысл вычисления доверительного интервала заключается в построении по данным выборки такого интервала, чтобы можно было утверждать с заданной вероятностью, что значение оцениваемого параметра находится в этом интервале. Другими словами, доверительный интервал с определенной вероятностью содержит неизвестное значение оцениваемой величины. Чем шире интервал, тем выше неточность.
Существуют разные методы определения доверительного интервала. В этой статье рассмотрим 2 способа:
- через медиану и среднеквадратическое отклонение;
- через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента).
Этапы сравнительного анализа разных способов расчета ДИ:
1. формируем выборку данных;
2. обрабатываем ее статистическими методами: рассчитываем среднее значение, медиану, дисперсию и т.д.;
3. рассчитываем доверительный интервал двумя способами;
4. анализируем очищенные выборки и полученные доверительные интервалы.
Этап 1. Выборка данных
Выборка сформирована с помощью системы estimatica.pro. В выборку вошло 91 предложение о продаже 1 комнатных квартир в 3-ем ценовом поясе с типом планировки «Хрущевка».
Таблица 1. Исходная выборка
|
Цена 1 кв.м., д.е. |
|
Рис.1. Исходная выборка
Этап 2. Обработка исходной выборки
Обработка выборки методами статистики требует вычисления следующих значений:
1. Среднее арифметическое значение
2. Медиана - число, характеризующее выборку: ровно половина элементов выборки больше медианы, другая половина меньше медианы
(для выборки, имеющей нечетное число значений)
3. Размах - разница между максимальным и минимальным значениями в выборке
4. Дисперсия - используется для более точного оценивания вариации данных
5. Среднеквадратическое отклонение по выборке (далее - СКО) - наиболее распространённый показатель рассеивания значений корректировок вокруг среднего арифметического значения.
6. Коэффициент вариации - отражает степень разбросанности значений корректировок
7. коэффициент осцилляции - отражает относительное колебание крайних значений цен в выборке вокруг средней
Таблица 2. Статистические показатели исходной выборки
Коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, составляет 12,29%, однако коэффициент осцилляции слишком велик. Таким образом, мы можем утверждать, что исходная выборка не является однородной, поэтому перейдем к расчету доверительного интервала.
Этап 3. Расчёт доверительного интервала
Способ 1. Расчёт через медиану и среднеквадратическое отклонение.
Доверительный интервал определяется следующим образом: минимальное значение - из медианы вычитается СКО; максимальное значение - к медиане прибавляется СКО.
Таким образом, доверительный интервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)
Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 1.
Способ 2. Построение доверительного интервала через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента)
С.В. Грибовский в книге «Математические методы оценки стоимости имущества» описывает способ вычисления доверительного интервала через коэффициент Стьюдента. При расчете этим методом оценщик должен сам задать уровень значимости ∝, определяющий вероятность, с которой будет построен доверительный интервал. Обычно используются уровни значимости 0,1; 0,05 и 0,01. Им соответствуют доверительные вероятности 0,9; 0,95 и 0,99. При таком методе полагают истинные значения математического ожидания и дисперсии практически неизвестными (что почти всегда верно при решении практических задач оценки).
Формула доверительного интервала:
n - объем выборки;
Критическое значение t- статистики (распределения Стьюдента) с уровнем значимости ∝,числом степеней свободы n-1,которое определяется по специальным статистическим таблицам либо с помощью MS Excel ( →"Статистические"→ СТЬЮДРАСПОБР);
∝ - уровень значимости, принимаем ∝=0,01.
Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 2.
Этап 4. Анализ разных способов расчета доверительного интервала
Два способа расчета доверительного интервала - через медиану и коэффициент Стьюдента - привели к разным значениям интервалов. Соответственно, получилось две различные очищенные выборки.
Таблица 3. Статистические показатели по трем выборкам.
|
Показатель |
Исходная выборка |
1 вариант |
2 вариант |
|
Среднее значение |
|||
|
Дисперсия |
|||
|
Коэф. вариации |
|||
|
Коэф. осциляции |
|||
|
Количество выбывших объектов, шт. |
|||
На основании выполненных расчетов можно сказать, что полученные разными методами значения доверительных интервалов пересекаются, поэтому можно использовать любой из способов расчета на усмотрение оценщика.
Однако мы считаем, что при работе в системе estimatica.pro целесообразно выбирать метод расчета доверительного интервала в зависимости от степени развитости рынка:
- если рынок неразвит, применять метод расчета через медиану и среднеквадратическое отклонение, так как количество выбывших объектов в этом случае невелико;
- если рынок развит, применять расчет через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента), так как есть возможность сформировать большую исходную выборку.
При подготовке статьи были использованы:
1. Грибовский С.В., Сивец С.А., Левыкина И.А. Математические методы оценки стоимости имущества. Москва, 2014 г.
2. Данные системы estimatica.pro
Пусть произведена выборка из генеральной совокупности, подчиненной закону нормального распределения X N(m ; ). Это основное предположение математической статистики основано на центральной предельной теореме. Пусть известно генеральное среднее квадратическое отклонение , но неизвестно математическое ожидание теоретического распределения m (среднее значение ).
В
таком случае среднее выборочное
,
полученное в ходе эксперимента (п.3.4.2),
также будет являться случайной величиной
m
;
).
Тогда «нормализованное» отклонение
N(0;1)
– является стандартной нормальной
случайной величиной.
Задача состоит в поиске интервальной оценки для m . Построим двусторонний доверительный интервал для m так, чтобы истинное математическое ожидание принадлежало ему с заданной вероятностью (надежностью) .
Установить
такой интервал для величины
– это значит найти максимальное значение
этой величины
и минимальное
,
которые являются границам критической
области:
.
Т.к.
такая вероятность равна
,
то корень этого уравнения
можно найти с помощью таблиц функции
Лапласа (Таблица 3, приложение 1).
Тогда
с вероятностью
можно утверждать, что случайная величина
,
то есть искомое генеральное среднее
принадлежит интервалу
.
(3.13)
Величину
(3.14)
называют точностью оценки.
Число
– квантиль
нормального распределения – можно
найти как аргумент функции Лапласа
(Таблица 3, приложение 1), учитывая
соотношение 2Ф(u
)=
, т.е. Ф(u
)=
.
Обратно,
по заданному значению отклонения
можно найти, с какой вероятностью,
неизвестное генеральное среднее
принадлежит интервалу
.
Для этого нужно вычислить
.
(3.15)
Пусть
из генеральной совокупности извлечена
случайная выборка методом повторного
отбора. Из уравнения
можно найти минимальный
объем
повторной выборки n
,
необходимый для того, чтобы доверительный
интервал с заданной надежностью
не превышал наперед заданного значения
.
Оценку требуемого объема выборки
производят по формуле:
.
(3.16)
Исследуем
точность
оценки
:
1) При возрастании объема выборки n величина уменьшается , и значит, точность оценки увеличивается .
2)
С увеличением
надежности оценки
увеличивается значение аргументаu
(т.к. Ф
(u
)
монотонно возрастает) и значит
увеличивается
.
В таком случае увеличение надежности
уменьшает
точность ее оценки
.
Оценку
(3.17)
называют
классической
(где
t
- некий параметр, зависящий от
и n
),
т.к. она характеризует наиболее часто
встречающиеся законы распределения.
3.5.3 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении
Пусть
известно, что генеральная совокупность
подчинена закону нормального распределения
X
N(m
;
),
где величина среднего
квадратического
отклонения
неизвестна.
Для
построения доверительного интервала
оценки генерального среднего в этом
случае используется статистика
,
имеющая распределение Стъюдента с k
=
n
–1
степенями свободы. Это следует из того,
что
N(0;1)
(см. п.3.5.2), а
(см. п.3.5.3) и из определения распределения
Стъюдента (ч.1.п.2.11.2).
Найдем
точность классической оценки распределения
Стъюдента: т.е. найдем t
из формулы (3.17). Пусть вероятность
выполнения неравенства
задана надежностью
:
. (3.18)
Поскольку
T
St(n
-1),
очевидно, что t
зависит от
и n
,
поэтому обычно пишут
.
(3.19)
где
– функция распределения Стъюдента сn
-1
степенями свободы.
Решая
это уравнение относительно m
,
получим интервал
который с надежностью
покрывает неизвестный параметр m
.
Величина t , n -1 , служащая для определения доверительного интервала случайной величины T (n -1), распределенной по Стъюденту с n -1 степенями свободы, называется коэффициентом Стъюдента . Его следует находить по заданным значениям n и из таблиц «Критические точки распределения Стьюдента». (Таблица 6, приложение 1), которые и представляют собой решения уравнения (3.19).
В итоге получаем следующее выражение точности доверительного интервала для оценки математического ожидания (генерального среднего), если неизвестна дисперсия:
(3.20)
Т.о., существует общая формула построения доверительных интервалов для математического ожидания генеральной совокупности:
где точность доверительного интервала в зависимости от известной или неизвестной дисперсии находится по формулам соответственно 3.16. и 3.20.
Задача 10. Проведены некоторые испытания, результаты которых занесены в таблицу:
|
x i |
Известно,
что они подчиняются закону нормального
распределения с
.
Найти оценкуm
*
для математического ожидания m
,
построить для него 90% доверительный
интервал.
Решение:
Итак, m (2.53;5.47).
Задача 11. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна 0, а случайные ошибки распределяются по нормальному закону, со средним квадратическим отклонением =15м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибками не более 5м при доверительной вероятности 90%?
Решение:
По условию задачи имеем X N(m ; ), где =15м, =5м, =0.9. Найдем объем n .
1) С заданной надежностью = 0.9 найдем по таблицам 3 (Приложение 1) аргумент функции Лапласа u = 1.65.
2)
Зная заданную точность оценки
=u
=5,
найдем
.
Имеем
.
Поэтому число испытаний n
25.
Задача 12. Выборка температуры t за первые 6 дней января представлена в таблице:
Найти
доверительный интервал для математического
ожидания m
генеральной совокупности с доверительной
вероятностью
и оценить
генеральное стандартное отклонение s
.
Решение:
и
.
2)
Несмещённую оценку
найдем по формуле
:
|
|
|
||||||
|
| |||||||
|
|
|
=-175
=234.84
;
;
|
|
|
||||||
|
| |||||||
|
|
|
=-192
=116
.
3) Поскольку генеральная дисперсия неизвестна, но известна ее оценка, то для оценки математического ожидания m используем распределение Стъюдента (Таблица 6, приложение 1) и формулу (3.20).
Т.к.
n
1 =n
2 =6,
то
,
,
s
1 =6.85
имеем:
,
отсюда -29.2-4.1<m
1 <
-29.2+4.1.
Поэтому -33.3<m 1 <-25.1.
Аналогично
имеем,
,
s
2 =
4.8,
,
поэтому
–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) и m 2 (-34.9;-29.1).
В прикладных науках, например, в строительных дисциплинах, для оценки точности объектов используются таблицы доверительных интервалов, которые приведены в соответствующей справочной литературе.
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение s этого распределения известны. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. В данном случае задача сводится к нахождению доверительного интервала для математического ожидания с надёжностью b. Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности) b, то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, используя формулу (6.9а):
где Ф(t ) – функция Лапласа (5.17а).
В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D = s 2:
- Задать значение надёжности – b .
- Из (6.14) выразить Ф(t) = 0,5× b. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по значению Ф(t) (см. Приложение 1).
- Вычислить отклонение e по формуле (6.10).
- Записать доверительный интервал по формуле (6.12) такой, что с вероятностью b выполняется неравенство:
|
|
.Пример 5 .
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания а, если даны:
1) генеральное среднее квадратическое отклонение s = 5;
2) выборочная средняя ;
3) объём выборки n = 49.
В формуле (6.15) интервальной оценки математического ожидания а с надёжностью b все величины, кроме t, известны. Значение t можно найти, используя (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.
По таблице Приложения 1 для функции Лапласа Ф(t) = 0,48 находят соответствующее значение t = 2,06. Следовательно, 
. Подставив в формулу (6.12) вычисленное значение e, можно получить доверительный интервал: 30-1,47 < a < 30+1,47.
Искомый доверительный интервал для оценки с надёжностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания равен: 28,53 < a < 31,47.
