Дифференциальные уравнения полных дифференциалов примеры. Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах - это уравнение вида:
(1) ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y :
.
При этом .

Если найдена такая функция U(x, y) , то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0 .
Его общий интеграл:
U(x, y) = C ,
где C - постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1) . Для этого умножим уравнение на dx . Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x 0 , y 0 также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2) .
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2) .
Пусть выполняется условие (2) :
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y) , что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y) , которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x 0 до x , считая что y - это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x - это постоянная и применим (2) :

.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y 0 до y :
;
;
.
Подставляем в (5) :
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6) , U(x 0 , y 0) является постоянной - значением функции U(x, y) в точке x 0 , y 0 . Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2) :
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет - то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Здесь
, .
Дифференцируем по y , считая x постоянной:

.
Дифференцируем

.
Поскольку:
,
то заданное уравнение - в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v) ;
v du + u dv = d(uv) ;
;
.
В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

.
Подставляем в (П1) :
;
.

Ответ

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U(x, y) , удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .

Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
.
Здесь φ(y) - произвольная функция от y , которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4) :
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y) .

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U(x, y) , дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :

.
Подставим в (4) :
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2) :

.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y) = const .
Объединяем две постоянные в одну.

Ответ

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U , определяемую соотношением:
dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x 0 , y 0) и (x, y) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной (x 0 , y 0) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x 0 и y 0 - постоянные. Поэтому U(x 0 , y 0) - также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве :
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y , от точки (x 0 , y 0 ) до точки (x 0 , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x , от точки (x 0 , y) до точки (x, y) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x 0 , y 0 ) и (x, y) в параметрическом виде:
x 1 = s(t 1) ; y 1 = r(t 1) ;
x 0 = s(t 0) ; y 0 = r(t 0) ;
x = s(t) ; y = r(t) ;
и интегрировать по t 1 от t 0 до t .

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x 0 , y 0 ) и (x, y) . В этом случае:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1 ; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1 ;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1 ; dy 1 = (y - y 0) dt 1 .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Пример 1

Рассмотрим уравнение P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U (x , y) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Полный дифференциал функции U (x , y) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U (x , y) = ∫ P (x , y) d x + φ (y)

Функцию φ (y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Так мы нашли искомую функцию U (x , y) = 0 .

Пример 2

Найдите для ДУ (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 общее решение.

Решение

P (x , y) = x 2 - y 2 , Q (x , y) = - 2 x y

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.

Так как (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y является полным дифференциалом функции U (x , y) = 0 , то

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Это значит, что
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U (x , y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x 0 , y 0) до точки с переменными координатами (x , y) :

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Решение

Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1 ; 1) до (x , y) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1 , 1) до (x , 1) , а затем от точки (x , 1) до (x , y) :

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x · 1 - x · 1 2) = x y - x y 2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y - x y 2 + C = 0 .

Пример 4

Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Решение

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Так как ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Студенты ВУЗ-ов частенько ищут информацию "Как найти решение уравнения в полных дифференциалах?". Из этого урока Вы получите полную инструкцию плюс готовые решения. Сначала краткое ознакомление - что такое уравнение в полных дифференциалах? Как искать решение уравнения на полный дифференциал?
Далее разбор готовых примеров, после которого возможно у Вас не останется вопросов по данной теме.

Уравнение в полных дифференциалах

Определение 1. Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 называется уравнением в полных дифференциалах , если зависимость перед знаком равенства является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y) , то есть справедливая формула
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Таким образом, первоначальное уравнение по содержанию означает равенство нулю полного дифференциала функции
du(x,y)=0 .
Интегрируя дифференциал получим общий интеграл ДУ в виде
u(x,y)=С. (2)
При вычислениях, как правило, постоянную возлагают равной нулю.
Пред вычислениями всегда возникает вопрос "Как проверить что заданное ДУ является уравнением в полных дифференциалах?"
На этот вопрос дает ответ следующее условие.

Необходимое и достаточное условие полного дифференциала

Необходимым и достаточным условием полного дифференциала является равенство между собой частных производных
(3)
При решении дифференциальных уравнений его проверяют в первую очередь, чтобы идентифицировать имеем ли уравнение в полных дифференциалах или возможно другое.
По содержанию это условие означает что смешанные производные функции равны между собой.
В формулах учитывая зависимости
(4)
необходимое и достаточное условие существования полного дифференциала можем записать в виде

Приведенный критерий и применяют при проверке уравнения на соответствие полному дифференциалу, хотя при изучении данной темы преподаватели не зададут Вам другого типа уравнений.

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

С обозначений (4) частных производных полного дифференциала функции следует, что u(x,y) мы можем найти интегрированием

Эти формулы дают выбор при вычислениях, поэтому для интегрирования выбирают ту частную производную, интеграл от которой легче найти на практике.
Далее второй важный момент - неопределенный интеграл представляет собой первообразную то есть "+ С" , которую следует определить.
Поэтому, если интегрируем частную производную M(x,y) по "икс" то сталая зависит от y и наоборот - если интегрируем N(x,y) по y то сталая зависима от "икс" .
Далее чтобы определить постоянную берут производную от u(x,y) по другой переменной чем та, по которой производили интегрирование и приравнивают к второй частичной производной.
В формулах это будет выглядеть следующим образом

Как правило некоторые слагаемые упрощаются и получим уравнение на производную постоянной. Для первого из уравнений получим

Окончательно общий интеграл после определения постоянной имеет вид

В симметричной форме получим ответ и для другого уравнения.
Запись только на вид сложная, на самом деле на практике все выглядит значительно проще и понятнее. Проанализируйте следующие задачи на полные дифференциалы.

Готовые ответы на уравнение в полных дифференциалах

Пример 1.

Решение: Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , поскольку выполняется условие

Отсюда записываем частную производную функции двух переменных от "икс"

и интегрированием находим ее вид

Чтобы доопределить постоянную находим частную производную функции по "y" и приравниваем со значением в уравнении

Подобные слагаемые в правой и левой части сокращаем, после чего постоянную находим интегрированием

Теперь имеем все величины для записи общего решения дифференциального уравнения в виде

Как можно убедиться, схема решения уравнений в полных дифференциалах не сложная и ее под силу выучить каждому. Важное значение имеют множители при дифференциалах, поскольку их приходится интегрировать и дифференцировать чтобы найти решение.

Пример 2. (6.18) Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение: По теории левая часть уравнения должна быть полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), при этом проверяем выполняется ли условие

Отсюда берем частную производную и через интеграл находим функцию

Вычисляем частную производную функции двух переменных по y и приравниваем к правой стороне дифференциального уравнения.

Производная выражается зависимостью

С учетом постоянной получили в виде

На этом вычисления данного примера завершено.

Пример 3. (6.20) Решить дифференциальное уравнение

Решение: Левая часть уравнения будет полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x; y) , если будет выполняться условие

Отсюда начинаем решать уравнения, а вернее интегрирование одной из частных производных

Далее находим производную от полученной функции по переменной y и приравниваем к правой стороне дифференциальной зависимости

Это позволяет найти константу, как функцию от y . Если начинать раскрывать дифференциальную зависимость с правой стороны, то получим что константа зависит от x . при этом не изменится и для заданного уравнения имеет вид

На этом пример решен.Общее решение дифференциального уравнения можем записать формулой

Для закрепления тематики просим самостоятельно проверить что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их:
Здесь Вам и корневые функции, тригонометрические, экспоненты, логарифмы, одним словом - все что может ожидать Вас на модулях и экзаменах.
После этого Вам станет гораздо проще решать такого типа уравнения.
Из следующей статьи Вы познакомитесь с уравнениями вида
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
которые достаточно подобные уравнению в полных дифференциалах, однако в них не выполняется условие равенства частных производных. Их вычисляют поиском интегрирующего множителя, умножая на который приведенное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.

Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.

Дальнейшее решение таково:

из последнего равенства находим $U"\left(y\right)$;
интегрируем $U"\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.

Находим разность:

Интегрируем $U"\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:

Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида

где
называется уравнением в полных дифференциалах.

Заметим, что левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
.

В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде

Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение

решение которого есть общим интегралом уравнения (8.4). Таким образом, для решения уравнения (8.4) необходимо найти функцию
. В соответствии с определением уравнения (8.4), имеем

(8.6)

Функцию
будем отыскивать, как функцию, удовлетворяющую одному из этих условий (8.6):

где - произвольная функция, не зависящая от.

Функция
определяется так, чтобы выполнялось второе условие выражения (8.6)

(8.7)

Из выражения (8.7) и определяется функция
. Подставляя ее в выражение для
и получают общий интеграл исходного уравнения.

Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение

Здесь
.

Следовательно, данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Функцию
будем отыскивать в виде

С другой стороны,

В ряде случаев условие
может не выполняться.

Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.

Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле

где отношение должно быть только функцией.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле

где отношение
должно быть только функцией.

Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.

Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Рассмотрим отношение:

Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения

Определение 8.5 . Дифференциальное уравнение
называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции, ее производнойи не содержит произведения искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:

(8.8)

Если в соотношении (8.8) правая часть
, то такое уравнение называется линейным однородным. В случае, когда правая часть
, то такое уравнение называется линейным неоднородным.

Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.

На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.

Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

;

Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения применяется метод вариации производной постоянной. Идея метода состоит в том, что общее решение линейного неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, однако произвольная постоянная заменяется некоторой функцией
, подлежащей определению. Итак, имеем:

(8.9)

Подставляя в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
и
, получим

Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

Задача 8.5. Проинтегрировать уравнение